수학에서 주기 함수(週期函數, 영어: periodic function)는 함숫값이 일정 주기마다 되풀이되는 함수이다. 일상적인 예로, 시계 시간은 시간에 대한 함수로서 주기 함수이다. 즉, 시계의 행동은 날마다 똑같다.
0이 아닌 실수
및 실수 부분 집합
및 실수 함수
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수
를 주기 함수라고 하고, 실수
를
의 주기(週期, 영어: period)라고 한다.
- 임의의
에 대하여,
이다.
인 유한 실수 구간
이 존재한다. 즉,
의 그래프는 그 "유한한" 제한의 그래프에 대한 거듭된 수평 평행 이동으로 생성된다.
- 여기서
이며,
이다. 즉,
는 함수의 그래프를 수평 방향으로
만큼 평행 이동하는 변환이다.
이에 따라, 다음이 성립한다.
- 임의의
에 대하여,
이다.
인 유한 실수 구간
이 존재한다.
실수 주기 함수
및 실수
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 실수
를
의 기본 주기(基本週期, 영어: fundamental period, primitive period)라고 한다. 이는 존재하지 않을 수 있다.
는 양의 최소 주기이다.
. 즉,
의 주기는 곧
이다.
실수 주기 함수
의 주기와 0의 집합을
로 적자. 즉,
![{\displaystyle \operatorname {prd} f=\{t\in \mathbb {R} \colon f(x+t)=f(x)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61275e1d3db3419509df6fb3cda38156997b5472)
이라고 하자. 그렇다면, 이는 덧셈에 대하여 닫혀있다. 다시 말해,
- 임의의
에 대하여,
이다.
- 특히, 임의의
및
에 대하여,
이다.
따라서
는 덧셈에 대한 아벨 군을 이룬다.
실수 주기 함수
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
가 기본 주기를 갖지 않는다.
가
에서 조밀 집합이다.
만약 주기 함수
가 기본 주기를 갖지 않는다면, 상수 함수이거나, 아니면 모든 곳에서 불연속이다.
실수를 그 소수 부분으로 대응시키는 함수
는
![{\displaystyle \cdots =f(-2.9)=f(-1.9)=f(-0.9)=0.1=f(0.1)=f(1.1)=f(2.1)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b103d17ab5b2b1c98af21064a4090344c3eb6bfc)
![{\displaystyle \cdots =f(-2.7)=f(-1.7)=f(-0.7)=0.3=f(0.3)=f(1.3)=f(2.3)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eba40f2c905772ed076a0283a83de6127c7803b)
과 같이, 주기 함수이며, 그 기본 주기는 1이다.
삼각 함수는 모두 주기 함수이다. 사인 · 코사인 함수는
, 탄젠트 함수는
를 기본 주기로 한다.
![{\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efed452cc90f7cd14d656a2d97750c9e09a011a0)
![{\displaystyle \cos(x+2\pi )=\cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec5683996380fe3a5cf618f6dd4f45a7fa96bff1)
![{\displaystyle \tan(x+\pi )=\tan x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4aa00c588aab11e7c6ac9890acc6a927a5a7d1c)
상수 함수는 주기 함수이며, 모든 실수를 주기로 갖는다. 따라서, 기본 주기가 없다.
디리클레 함수
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9bc9ee98729f276e891c1625e932b78b99a075)
는 주기 함수이며, 모든 유리수를 주기로 갖는다. 따라서, 기본 주기가 없다.