주기함수

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수학에서, 주기 함수(週期函數, 영어: periodic function)는 함숫값이 일정 주기마다 되풀이되는 함수이다. 일상적인 예로, 시계 시간은 시간에 대한 함수로서 주기 함수이다. 즉, 시계의 행동은 날마다 똑같다.

정의[편집]

실수 함수[편집]

0이 아닌 실수 및 실수 부분 집합 및 실수 함수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 주기 함수라고 하고, 실수 주기(週期, 영어: period)라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 이다.
  • 인 유한 실수 구간 이 존재한다. 즉, 그래프는 그 "유한한" 제한의 그래프에 대한 거듭된 수평 평행 이동으로 생성된다.
    • 여기서 이며, 이다. 즉, 는 함수의 그래프를 수평 방향으로 만큼 평행 이동하는 변환이다.

이에 따라, 다음이 성립한다.

  • 임의의 에 대하여, 이다.
  • 인 유한 실수 구간 이 존재한다.

기본 주기[편집]

실수 주기 함수 및 실수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 실수 기본 주기(基本週期, 영어: fundamental period, primitive period)라고 한다. 이는 존재하지 않을 수 있다.

  • 는 양의 최소 주기이다.
  • . 즉, 의 주기는 곧 이다.

성질[편집]

실수 주기 함수 의 주기와 0의 집합을 로 적자. 즉,

이라고 하자. 그렇다면, 이는 덧셈에 대하여 닫혀있다. 다시 말해,

  • 임의의 에 대하여, 이다.
  • 특히, 임의의 에 대하여, 이다.

따라서 는 덧셈에 대한 아벨 군을 이룬다.

기본 주기[편집]

실수 주기 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 가 기본 주기를 갖지 않는다.
  • 에서 조밀 집합이다.

만약 주기 함수 가 기본 주기를 갖지 않는다면, 상수 함수이거나, 아니면 모든 곳에서 불연속이다.

[편집]

실수를 그 소수 부분으로 대응시키는 함수

과 같이, 주기 함수이며, 그 기본 주기는 1이다.

삼각 함수는 모두 주기 함수이다. 사인 · 코사인 함수는 , 탄젠트 함수는 를 기본 주기로 한다.

상수 함수는 주기 함수이며, 모든 실수를 주기로 갖는다. 따라서, 기본 주기가 없다.

디리클레 함수

는 주기 함수이며, 모든 유리수를 주기로 갖는다. 따라서, 기본 주기가 없다.

같이 보기[편집]