함수의 그래프

함수 $f(x,y)=(x^{2}+3y^{2})\exp(1-x^{2}-y^{2})$의 그래프

수학에서, 함수의 그래프(영어: graph)는 정의역의 값과 그에 대한 함수 값을 좌표로 하는 점들로 이루어진 그림이다.

정의

함수 $f\colon X\to Y$의 그래프는 정의역과 공역의 곱집합의 다음과 같은 부분 집합이다.

$\operatorname {graph} f=\{(x,f(x))\colon x\in X\}\subseteq X\times Y$

$m$차원 실수 벡터의 유클리드 공간의 부분 집합 $S\subseteq \mathbb {R} ^{m}$과 $n$차원 실수 벡터의 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 사이의 함수 $f\colon S\to \mathbb {R} ^{n}$의 그래프는 $m+n$차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{m+n}$의 부분 집합이다. 특히, 함수 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$의 그래프는 평면 위에서 나타낼 수 있으며, 함수 $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$의 그래프는 3차원 공간 위에서 나타낼 수 있다.

성질

만약 $X$와 $Y$가 위상 공간이며 $f\colon X\to Y$가 연속 함수라면, $x\mapsto (x,f(x))$는 $X\to X\times Y$ 매장이며, $\operatorname {graph} f$는 $X$와 위상 동형이다. 만약 $X$와 $Y$가 매끄러운 다양체이며 $f\colon X\to Y$가 매끄러운 함수라면, $x\mapsto (x,f(x))$는 $X\to X\times Y$ 매끄러운 매장이며, $\operatorname {graph} f$는 $X$와 미분 동형이다.

닫힌집합일 조건

위상 공간 $Y$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $Y$는 하우스도르프 공간이다.
• 임의의 위상 공간 $X$ 및 연속 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, $\operatorname {graph} f\subseteq X\times Y$는 닫힌집합이다.

만약 $Y$가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, 위상 공간 $X$ 및 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 연속 함수이다.
• $\operatorname {graph} f\subseteq X\times Y$는 닫힌집합이다.

예

• 
  함수 $f(x)=x^{3}-9x$의 그래프
• 
  함수 $f(x)=x^{4}-4^{x}$의 그래프
• 
  함수 $f(x,y)=\sin x^{2}\cos y^{2}$의 그래프
• 
  함수 $f(x,y)=-(\cos x^{2}+\cos y^{2})^{2}$의 그래프

참고 문헌

• Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0. 

외부 링크

• “Graph of a mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Function graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Examples for Plotting & Graphics”. 《Wolfram Alpha》 (영어). 
  • 다양한 함수의 그래프의 예시