고정점

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수학에서, 고정점(固定點, 영어: fixed point) 또는 부동점(不動點, 영어: invariant point)은 함수나 변환 따위에서 옮겨지지 않는 점이다. 실수 위의 함수의 고정점은 그래프와 직선 의 교점에 대응한다. 예를 들어, 함수 의 한 고정점은 2이며, 이는 이기 때문이다. 반면 함수 는 고정점을 가지지 않는데, 이는 그 그래프가 직선 평행선이기 때문이다. 사영기하학에서, 사영 변환의 고정점을 이중점(二重點, double point)이라고 한다.[1] 갈루아 이론에서, 체 자기 동형 집합의 고정점이 이루는 를 그 체 자기 동형 집합의 고정체(固定體, 영어: fixed field)라고 한다.

정의[편집]

함수 고정점를 만족시키는 이다.

고정점은 주기점의 특수한 경우이다. 또한, 고정점은 끌개의 특수한 경우이다.

위상 공간 가 다음 조건을 만족시키면, 고정점 성질(固定點性質, 영어: fixed-point property, 약자 FPP)라고 한다.

  • 임의의 연속 함수 는 고정점을 갖는다.

함수 유인 고정점(誘引不動點, attractive fixed point)은 다음 조건을 만족시키는 근방 를 갖는 고정점 이다.

  • 임의의 에 대하여, 점렬 수렴한다.

유인 고정점의 근삿값은 그 주위의 점을 초기값으로 한 함수 반복 점렬에 의한 점근을 통해 구할 수 있다. 이를 통해 방정시 의 근사해를 구하는 방법을 고정점 반복법(固定點反復法, 영어: fixed-point iteration)이라고 한다.

랴푸노프 안정성을 만족시키는 고정점을 안정 고정점(安定不動點, stable fixed point)이라고 한다. 랴푸노프 안정성을 만족시키는 비(非) 유인 고정점을 중립 안정 고정점(中立安定不動點, neutrally stable fixed point)이라고 한다.

전고정점과 후고정점[편집]

부분 순서 집합 위의 함수 가 만약[2]

  • 를 만족시키면, 전고정점(영어: prefixpoint)이라고 한다.
  • 를 만족시키면, 후고정점(영어: postfixpoint)이라고 한다.

성질[편집]

고정점 성질은 위상 불변 성질이다. 즉, 임의의 위상동형사상에 의하여 보존된다. 또한, 고정점 성질은 임의의 변형 수축에 대하여 보존된다.

고정점이 존재할 충분 조건을 제시하는 정리를 고정점 정리(固定點定理, 영어: fixed-point theorem)라고 한다. 중요한 고정점 정리는 다음과 같다.

만약 가 구간 위의 연속 미분 가능 함수이며, 그 고정점 을 만족시킨다면, 의 유인 고정점이다. 실제 유인 고정점에 대한 반복법에서, 이 원하는 오차보다 작아질 때 고정점 반복을 몇 번째 계산에서 멈추는지 결정할 수 있다.[3]

고정점은 유인 고정점이 아닐 수 있다. 예를 들어, 함수 , 는 유일한 고정점 0을 가지지만, 임의의 에 대하여, 수열 발산한다.

크나스터-타르스키 정리에 의하면, 완비 격자 위의 단조 함수최소 고정점을 가지며, 이는 최소 전고정점과 일치한다. (마찬가지로 최대 고정점을 가지며, 최대 후고정점과 일치한다.

[편집]

코사인에 대한 고정점반복 (시작점 x0 = −1). 사실 임의의 실수 x를 계산기에 입력한 뒤 cos 키를 누르기를 반복하면, 결과값은 약 0.739085133으로 수렴하는데, 이 값이 바로 cos 함수의 유인 고정점이다.

삼각 함수 바나흐 고정점 정리에 따라 유일한 고정점을 가지며, 이는 유인 고정점이다. 또한, 임의의 실수 에 대하여, 함수 반복 점렬

은 고정점으로 수렴한다.

2계 제차 선형 미분 방정식의 중심은 중립 안정 고정점의 예다.

응용[편집]

많은 분야에서 평형, 또는 안정성은 고정점으로 설명할 수 있는 핵심 개념이다. 예를 들어 경제학에서 내시 균형게임최적 반응 함수의 고정점이다. 물리학상전이 이론에서, 불안정 고정점 부근에서의 선형화는 윌슨노벨 물리학상 '수상작'인 재규격화군으로 이어졌다.

컴파일러에서, 고정점 계산은 프로그램 분석에 사용된다. 그 예로 데이터 흐름 분석이 있다.

웹페이지의 페이지랭크 벡터는 월드 와이드 웹의 링크 구조에서 얻어지는 선형변환의 고정점이다.

논리학자 솔 크립키는 그의 영향력 있는 진리 이론에 고정점을 활용하였다.

고정점의 개념을 함수의 수렴성의 정의에 사용할 수 있다.

전고정점과 후고정점은 이론 전산학에서 응용된다.[4]

역사[편집]

1932년, 카롤 보르수크콤팩트성축약 가능성이 고정점 성질의 필요충분조건이냐는 질문을 내놓았다. 이는 20년 후 신이치 키노시타가 고정점 성질을 만족시키지 않는 콤팩트 축약 가능 공간을 발견해 거짓임이 증명되었다.[5]

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Coxeter, H. S. M. (1942). 《Non-Euclidean Geometry》 (영어). University of Toronto Press. 36쪽. 
  2. B. A. Davey; H. A. Priestley (2002). [고정점 - 구글 도서 《Introduction to Lattices and Order》] |url= 값 확인 필요 (도움말) (영어). Cambridge University Press. 182쪽. ISBN 978-0-521-78451-1. 
  3. Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. 54-56쪽. ISBN 978-89-966211-8-8. 
  4. Yde Venema (2008) Lectures on the Modal μ-calculus (영어)
  5. Kinoshita, S. (1953). “On Some Contractible Continua without Fixed Point Property”. 《Fund. Math.》 (영어) 40 (1): 96–98. ISSN 0016-2736. 

외부 링크[편집]