고정점

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수학에서, 고정점(固定點, fixed point) 또는 부동점(不動點, invariant point)은 함수나 변환 따위에서 옮겨지지 않는 점이다. 가 함수 의 부동점일 필요충분조건은, 이다. 이는 를 함의한다.

예를 들어, 2는 실함수 의 부동점이다.

모든 함수가 부동점을 가지지는 않는다. 실함수 이 그 예이다.

기하학적으로, 의 부동점은 곧 그래프와 직선 와의 교점이다. 앞선 의 그래프는 직선 와 평행하므로 부동점을 갖지 않는다.

함수를 유한번 반복한 뒤 원래의 점으로 돌아오는 점을 주기점이라고 한다. 부동점은 1을 주기로 하는 주기점이다. 사영기하학에서, 사영변환의 부동점을 이중점(二重點, double point)이라고 한다.[1]

갈루아 이론에서, 체 자기동형사상 집합의 부동점 집합은, 불변체라고 불리는 를 이룬다.

유인 부동점[편집]

부동점반복 xn+1 = cos xn, 시작점 x1 = −1.

함수 유인부동점(誘引不動點, attractive fixed point)은, 과 충분이 가까운, 정의역 내 임의의 에 대하여, 반복함수

으로 수렴하도록 하는, 의 부동점 입니다.

자연 코사인 함수("자연"은 라디안을 사용한다는 의미)는 유일한 부동점을 가지며, 유인적입니다. 임의의 실수 를 계산기에 입력하고 키를 반복해서 누르면 약 0.739085133으로 수렴하는데 이 값이 바로 함수의 유인부동점입니다. 이 경우 정의 중 '충분히 가까운'이라는 조건은 느슨하게 적용된 셈입니다.

모든 부동점이 유인적이지는 않다. 은 함수 의 부동점이지만, 0이 아닌 값에 대한 반복함수열은 모두 발산합니다. 만약 가 부동점 의 어떤 열린 근방에서 연속미분가능하고 이면, 은 유인적입니다.

유인부동점은 더 넓은 수학 개념인 끌개의 특수한 경우입니다.

리아푸노프 안정성을 만족하는 유인부동점을 안정부동점(安定不動點, stable fixed point)이라고 합니다.

리아푸노프 안정적인 비(非)유인부동점을 중립안정부동점(中立安定不動點, neutrally stable fixed point)이라고 합니다. 2계 제차 선형 미분 방정식의 중심은 중립안정부동점의 예입니다.

부동점 정리[편집]

응용[편집]

많은 분야에서 평형, 또는 안정성은 고정점으로 설명할 수 있는 핵심 개념이다. 예를 들어 경제학에서 내시 균형게임최적 반응 함수의 고정점이다. 물리학상전이 이론에서, 불안정 고정점 부근에서의 선형화는 윌슨노벨 물리학상 '수상작'인 재규격화군으로 이어졌다.

컴파일러에서, 고정점 계산은 프로그램 분석에 사용된다. 그 예로 데이터 흐름 분석이 있다.

웹페이지의 페이지랭크 벡터는 월드 와이드 웹의 링크 구조에서 얻어지는 선형변환의 고정점이다.

논리학자 솔 크립키는 그의 영향력 있는 진리 이론에 고정점을 활용하였다.

고정점의 개념을 함수의 수렴성의 정의에 사용할 수 있다.

부동점 성질[편집]

위상공간 부동점 성질은, 임의의 연속함수 에 대해 가 존재하여 이라는 성질이다.

부동점 성질은 위상불변량이다, 즉 임의의 위상동형인 공간들에 의하여 보존된다. 부동점 성질은 임의의 변형 수축에 의해서도 보존된다.

브라우어르 부동점 정리에 따르면, 유클리드 공간의 임의의 콤팩트 볼록 부분집합은 부동점 성질을 만족한다. 콤팩트성은 부동점 성질을 함의하지 않으며, 볼록성은 위상적 성질 조차 아니다. 이런 점에서 부동점 성질의 위상적 기술법을 찾는 것은 의미가 있다. 1932년, 카롤 보르수크는 콤팩트성과 축약가능성이 부동점 성질의 필요충분조건이냐는 질문을 내놓았다. 이는 20년 후 키노시타가 부동점 성질을 만족하지 않는 콤팩트 축약가능공간을 발견해 거짓임이 증명되었다.[2]

부분순서로의 일반화[편집]

부동점의 개념과 용어는 부분순서로 확장 가능하다. 부분순서집합 위의 함수 전고정점(prefixpoint)은, 인 임의의 이다. 후고정점(postfixpoint)은 비슷하게 인 임의의 이다.[3] 크나스터-타르스키 정리에 의하면, 완비 격자 상의 단조 함수최소부동점을 가지며 최소 전고정점과 일치한다(또한 최대부동점을 가지며 최대 후고정점과 일치한다). 전고정점과 후고정점은 이론 전산학에서도 응용된다.[4]

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Coxeter, H. S. M. (1942). 《Non-Euclidean Geometry》 (영어). University of Toronto Press. 36쪽. 
  2. Kinoshita, S. (1953). “On Some Contractible Continua without Fixed Point Property”. 《Fund. Math.》 (영어) 40 (1): 96–98. ISSN 0016-2736. 
  3. B. A. Davey; H. A. Priestley (2002). [고정점 - 구글 도서 《Introduction to Lattices and Order》] |url= 값 확인 필요 (도움말) (영어). Cambridge University Press. 182쪽. ISBN 978-0-521-78451-1. 
  4. Yde Venema (2008) Lectures on the Modal μ-calculus (영어)

외부 링크[편집]