일반위상수학에서 렙셰츠 수(Лефшец數, 영어: Lefschetz number)는 콤팩트 공간 위의 연속 자기 함수의 호모토피류에 대응되는 유리수 값의 불변량이다. 렙셰츠 수가 0이 아닌 경우, 렙셰츠 고정점 정리(Лефшец固定點定理, 영어: Lefschetz fixed-point theorem)에 따르면 함수는 고정점을 갖는다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 위상 공간
. 또한, 그 모든 베티 수와 코호몰로지 차원이 유한하다고 하자.
- 연속 함수
![{\displaystyle f\colon X\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773c98269d8a3c82725e5cb650243666484b528b)
그렇다면,
에 의하여 특이 코호몰로지에 대한 군 준동형이 유도된다.
![{\displaystyle f_{*}^{(n)}\colon \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {Z} )\to \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {Z} )\qquad (n\in \mathbb {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6127f1449d91d2168ba1a3b59a5d35c7dcf8ddd3)
특히, 유리수 계수를 취하면, 다음과 같은 유리수 선형 변환을 얻는다.
![{\displaystyle f_{*}^{(n)}\otimes \mathbb {Q} \colon \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {Q} )\to \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {Q} )\qquad (n\in \mathbb {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c9a516b255844b1e013b90b0fa42b03cc95275)
의 렙셰츠 수
는 다음과 같은 대각합들의 합인 유리수이다.
![{\displaystyle \operatorname {Lef} f=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\operatorname {tr} (f_{*}^{(n)}\otimes \mathbb {Q} )\in \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0548b40cd8c7746a7efa42a3977789614e19e90)
렙셰츠 고정점 정리에 따르면, 만약
가 콤팩트 단체 복합체이며,
이라면,
는 고정점을 갖는다. 즉,
인
가 존재한다.
그러나 그 역은 성립하지 않을 수 있다.
렙셰츠-호프 정리[편집]
만약
가
차원 콤팩트 다양체이며,
가 오직 유한 개의 고정점을 갖는다고 하자.
의 고정점들의 집합을
라고 하자.
에 대하여, 항상 다음 조건들을 만족시키는 두 근방
,
을 찾을 수 있다.
와
는
차원 열린 공과 위상 동형이다.
이다.
![{\displaystyle U\cap \operatorname {Fix} f=V\cap \operatorname {Fix} f=\{x_{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c469f3c592e775780a0e5eed89bec4da282f3c)
![{\displaystyle \forall x\in V\setminus \{x_{0}\}\colon f(x)\neq x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911ec05d757f077e324594ca01ce8c8c2e0f4ac9)
로 가정할 수 있다. 이 경우, 다음 함수
![{\displaystyle f\upharpoonright (V\setminus \{x_{0}\})\colon V\setminus \{x_{0}\}\to U\setminus \{x_{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1120f81b148fc8b14581378ff2646f1d20fb3a5f)
를 생각하자. 정의역과 공역 둘 다 초구
와 동치이므로, 호모토피류
를 정의할 수 있다.
에 임의의 방향을 주었을 때,
의 브라우어르 차수
를 정의할 수 있다.
렙셰츠-호프 정리(영어: Lefschetz–Hopf theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \sum _{x\in \operatorname {Fix} (f)}\deg \phi _{x}=\operatorname {Lef} f\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b3348d06b4a5091f682b1ddd13f82b2d45cdda8)
특히, 이 경우 렙셰츠 수는 항상 정수임을 알 수 있다.
만약
가 항등 함수라면 그 렙셰츠 수는
의 오일러 지표이다.
![{\displaystyle \operatorname {Lef} f=\chi (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e215391ee4a272e596e3b9f5b3bc7b4801c0f4)
렙셰츠 정리의 역에 대한 반례[편집]
원
위의 항등 함수
를 생각하자. 이는 물론 연속 함수이며, 무한히 많은 고정점을 갖는다. 그러나 임의의
에 대하여
는 항등 함수와 호모토픽하지만 고정점을 갖지 않는다. 즉, 고정점을 갖는지 여부는 호모토피 불변량이 아니며, 이 호모토피류의 렙셰츠 수는 0이다.
솔로몬 렙셰츠가 도입하였다.[1][2] 렙셰츠-호프 정리는 하인츠 호프가 증명하였다.
외부 링크[편집]