베티 수

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베티 수(영어: Betti number)는 위상 공간호몰로지 군계수다. 공간의 위상적 특성을 나타내는 수열의 하나다. 기호는 b_k며, 0이거나, 양의 정수이거나, \infty이다. 좀 더 다루기 쉬운 (콤팩트 공간 또는 CW 복합체 등) 경우에는 베티 수는 모두 유한하며, 어느 k_0부터 k\ge k_0에 대하여 b_k=0이다.

정의[편집]

위상 공간 X, 음이 아닌 정수 k, \mathbb F가 주어지면, k번째 베티 수 b_k(X,\mathbb F)k번째 특이 호몰로지 공간 H_k(X;\mathbb F)의 (F에 대한 벡터 공간으로서의) 차원이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

b_k(X,\mathbb  F)=\dim H_k(X;\mathbb F)

일반적으로, \mathbb F가 주어지지 않았을 때에는 \mathbb F=\mathbb Q (유리수)를 의미하는 것이다. 유리수에 대한 베티 수는 정수에 대한 호몰로지 공간 H_k(X;\mathbb Z)계수와 같다. \mathbb F표수가 0이면 베티 수는 항상 유리수에 대한 베티 수와 같지만, 표수가 유한한 경우 달라질 수 있다. 만약 k가 주어지지 않으면 암묵적으로 k=1이다.

콤팩트 공간이나 CW 복합체의 베티 수는 어떤 유한한 k_0 이상으로는 k\ge k_0에 대하여 b_k=0이다. 따라서 베티 수를 생성함수로 나타낼 수 있는데, 이를 푸앵카레 다항식(영어: Poincaré polynomial)이라 한다. 즉 푸앵카레 다항식 P(z)는 다음을 만족한다.

P(z)=\sum_{k=0}^\infty b_kz^k

무한차원에서는 이를 일반화하여 푸앵카레 함수열(영어: Poincaré series)을 정의할 수 있다.

성질[편집]

대략, 베티 수 b_kk차원 "구멍"의 수를 나타내는 것으로 해석할 수 있다.

유한한 CW 복합체 K의 경우 오일러 지표와 베티 수는 다음과 같은 관계를 가진다.

임의의 체 \mathbb F에 대하여, \chi(K)=\sum_{i=0}^\infty(-1)^ib_i(K,\mathbb F)

여기서 \chi(K)오일러 지표이다.

임의의 (베티 수열이 유한한) 위상 공간 XY에 대하여 그 곱공간 X\times Y의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 곱이다.

P_{X\times Y}(z)=P_X(z)P_Y (z)

마찬가지로,XY분리합집합 X\sqcup Y의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 합이다.

P_{X\sqcup Y}(z)=P_X(z)+P_Y(z)

닫힌 가향 n차원 다양체 X의 경우, 베티 수는 다음 관계를 만족한다.

b_k(X)=b_{n-k}(X)

이는 푸앵카레 이중성 H^k=H_{n-k}에서 유도할 수 있다.

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n차원 초구 \mathbb S^n의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

P_{\mathbb S^n}(z)=1+z^n

n차원 원환면 \mathbb T^n의 푸앵카레 다항식은 원의 푸앵카레 다항식으로부터 다음과 같다.

P_{\mathbb S^n}(z)=(1+z)^n

n차원 실수 사영 공간 \mathbb{RP}^n의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

P_{\mathbb{RP}^n}(z)=\begin{cases}1&2\mid n\\1+x^n&2\nmid n\end{cases}

무한 차원 실수 사영 공간 \mathbb{RP}^\infty의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

P_{\mathbb{RP}^n}(z)=1

2n차원 복소수 사영 공간 \mathbb{CP}^n의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

P_{\mathbb{cP}^n}(z)=1+z^2+\cdots+z^{2n}=\frac{1-z^{2n+2}}{1-z^2}

무한 차원 복소수 사영 공간 \mathbb{CP}^\infty의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

P_{\mathbb{CP}^n}(z)=1+z^2+z^4+\cdots=\frac1{1-z^2}

종수 g의 콤팩트 유향 곡면의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

P_{\Sigma_g}(z)=1+2gz+z^2

K3 곡면의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

P_{\text{K3}}(z)=1+z^{22}+1

리 군[편집]

콤팩트 단일 연결 단순 리 군 G의 푸앵카레 다항식들은 다음과 같은 꼴이다.

P_G(z)=\prod_{n\in N(G)}(1+z^n)

여기서 N(G)원시 지수(영어: primitive exponent)라고 하며, 다음과 같다.

단순 리 군 원시 지수 OEIS
\operatorname{SU}(n+1) 3,5,\dots,2n+1
\operatorname{Spin}(2n+1) 3,7,\dots,4n-1
\operatorname{USp}(2n) 3,7,\dots,4n-1
\operatorname{Spin}(2n) 3,7,\dots,4n-5,2n-1
G_2 3, 11
F_4 3, 11, 15, 23
E_6 3, 9, 11, 15, 17, 23 (OEIS의 수열 A106373)
E_7 3, 11, 15, 19, 23, 27, 35 (OEIS의 수열 A106374)
E_8 3, 15, 23, 27, 35, 39, 47, 59 (OEIS의 수열 A106403)

역사[편집]

앙리 푸앵카레엔리코 베티의 이름을 따서 명명하였다.

바깥 고리[편집]