베티 수

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베티 수(영어: Betti number)는 위상 공간호몰로지 군계수다. 공간의 위상적 특성을 나타내는 수열의 하나다. 기호는 며, 0이거나, 양의 정수이거나, 이다. 좀 더 다루기 쉬운 (콤팩트 공간 또는 CW 복합체 등) 경우에는 베티 수는 모두 유한하며, 어느 부터 에 대하여 이다.

정의[편집]

위상 공간 , 음이 아닌 정수 , 가 주어지면, 번째 베티 수 번째 특이 호몰로지 공간 의 (에 대한 벡터 공간으로서의) 차원이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

일반적으로, 가 주어지지 않았을 때에는 (유리수)를 의미하는 것이다. 유리수에 대한 베티 수는 정수에 대한 호몰로지 공간 계수와 같다. 표수가 0이면 베티 수는 항상 유리수에 대한 베티 수와 같지만, 표수가 유한한 경우 달라질 수 있다. 만약 가 주어지지 않으면 암묵적으로 이다.

콤팩트 공간이나 CW 복합체의 베티 수는 어떤 유한한 이상으로는 에 대하여 이다. 따라서 베티 수를 생성함수로 나타낼 수 있는데, 이를 푸앵카레 다항식(영어: Poincaré polynomial)이라 한다. 즉 푸앵카레 다항식 는 다음을 만족한다.

무한차원에서는 이를 일반화하여 푸앵카레 함수열(영어: Poincaré series)을 정의할 수 있다.

성질[편집]

대략, 베티 수 차원 "구멍"의 수를 나타내는 것으로 해석할 수 있다.

유한한 CW 복합체 의 경우 오일러 지표와 베티 수는 다음과 같은 관계를 가진다.

임의의 체 에 대하여,

여기서 오일러 지표이다.

임의의 (베티 수열이 유한한) 위상 공간 에 대하여 그 곱공간 의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 곱이다.

마찬가지로,분리합집합 의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 합이다.

닫힌 n차원 가향 다양체 의 경우, 베티 수는 다음 관계를 만족한다.

이는 푸앵카레 이중성 에서 유도할 수 있다.

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차원 초구 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

차원 원환면 의 푸앵카레 다항식은 원의 푸앵카레 다항식으로부터 다음과 같다.

차원 실수 사영 공간 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

무한 차원 실수 사영 공간 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

차원 복소수 사영 공간 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

무한 차원 복소수 사영 공간 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

종수 의 콤팩트 유향 곡면의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

K3 곡면의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

리 군[편집]

콤팩트 단일 연결 단순 리 군 의 푸앵카레 다항식들은 다음과 같은 꼴이다.

여기서 원시 지수(영어: primitive exponent)라고 하며, 다음과 같다.

단순 리 군 원시 지수 OEIS
3, 11
3, 11, 15, 23
3, 9, 11, 15, 17, 23 (OEIS의 수열 A106373)
3, 11, 15, 19, 23, 27, 35 (OEIS의 수열 A106374)
3, 15, 23, 27, 35, 39, 47, 59 (OEIS의 수열 A106403)

역사[편집]

앙리 푸앵카레엔리코 베티의 이름을 따서 명명하였다.

바깥 고리[편집]