푸앵카레 쌍대성

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대수적 위상수학에서, 푸앵카레 쌍대성(Poincaré雙對性, 영어: Poincaré duality)은 호몰로지 군과 코호몰로지 군에 대한 대응성이다.

정의[편집]

정수 계수[편집]

이 (경계가 없는) 콤팩트 차원 유향 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 방향기본류

를 정의한다.

그렇다면, 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다.

여기서 은 호몰로지류와 코호몰로지류의 합곱이다.

이 사상은 아벨 군동형 사상을 이루며, 이를 푸앵카레 쌍대성이라고 한다.


베티 수 는 호몰로지 및 코호몰로지의 차원이므로, 다음이 성립한다.

.

정수 계수에서 성립하므로, 사실 위의 푸앵카레 쌍대성은 임의의 아벨 군 계수에 대하여 마찬가지로 성립한다.

𝔽₂ 계수[편집]

이 (경계가 없는) 콤팩트 차원 다양체 이 주어졌다고 하자. (가향 다양체일 필요가 없다.)

이 경우, 기본류 계수에서 잘 정의된다.

이 경우, 마찬가지로 다음과 같은, -벡터 공간동형 사상이 존재한다.

성질[편집]

짝수 차원 콤팩트 다양체 이 주어졌다고 하자. 또한, 다음과 같은 두 경우를 생각하자.

  • 이며, 유향 다양체

두 경우 다 기본류 가 존재한다. 이 경우, 푸앵카레 쌍대성에 의하여, -가군 위에 다음과 같은 이차 형식이 존재한다.

이를 교차 형식(영어: intersection form)이라고 한다.

역사[편집]

앙리 푸앵카레가 1893년에 베티 수에 대한 관계로 제시하였다. 푸앵카레는 1895년에 푸앵카레 쌍대성의 증명을 발표하였으나,[1] 덴마크의 수학자 포울 헤고르(덴마크어: Poul Heegaard)가 오류를 지적하였다. 푸앵카레는 이 논문의 속편에서 수정한 다른 증명을 발표하였다.

1930년대에 코호몰로지가 발견되면서, 푸앵카레 쌍대성이 베티 수를 넘어서 호몰로지코호몰로지 사이의 관계라는 사실이 밝혀졌다.

참고 문헌[편집]

  1. Henri Poincaré, Analysis Situs, Journal de l'École Polytechnique ser 2, 1 (1895) pages 1–123.