CW 복합체

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호모토피 이론에서, CW 복합체(CW復合體, 영어: CW-complex) 또는 세포 복합체(細胞復合體, 영어: cell complex)는 일련의 세포(細胞, 영어: cell)들을 이어붙여 구성할 수 있는 위상 공간이다.

정의[편집]

CW 복합체 X는 다음 성질들을 만족시키는 분할

X=\bigsqcup_{n=0}^\infty\bigsqcup_{i\in I_n}c_i^n

이 존재하는 하우스도르프 공간이다.

  • c^n_in차원 열린 공과 위상동형이다. 이들을 n차원 열린 세포(영어: open cell)라고 한다. (0차원 열린 공은 한원소 공간으로 정의한다.)
  • 각 열린 세포 c^n_i마다, 다음 조건을 만족시키는 연속 함수 f\colon\bar{\mathbb D}^n\to Xg\colon c^n_i\to\bar{\mathbb D}^n가 존재한다.
    • g\bar{\mathbb D}^n의 내부 \mathbb D^n이다.
    • f\circ g항등 함수이다.
    • \textstyle f(\mathbb S^{n-1})\subseteq\bigsqcup_{k<n}\bigsqcup_{i\in I_k}c^k_i이다. 여기서 \mathbb S^{n-1}\subset\bar{\mathbb D}^n는 닫힌 공의 경계이다.

n차원 닫힌 공의 경계에서 f의 상은 n보다 낮은 차원의 분할 원소들의 적당한 유한 합집합에 속한다.

귀납적 정의[편집]

CW 복합체는 n차원 뼈대(영어: skeleton)를 이용해 다음과 같이 귀납적으로 정의할 수도 있다.[1]:519

  1. 0차원 뼈대는 이산 공간이다.
  2. n-1차원 뼈대가 주어졌을 때, n차원 뼈대를 구성하기 위하여, n차원 세포 e^n_a 를(여기서 a는 붙일 세포의 개수를 지정하는 첨수족의 원소) n-1-뼈대에 함수 \phi_a: S^{n-1} \to X^{n-1} 를 이용해 붙인다. 즉, n차원 초구S^n, n차원 D^n라고 쓰면, 가장자리 \partial D^n_a 에 속하는 x에 대해서 x와 \phi_a(x) 를 동치관계 r에 의해 동일시하는 몫공간 X^n = (X^{n-1}\bigsqcup_a D^n_a) / r을 생각하는 것이다. 여기서 각 세포 e^n_a 는 이 몫공간의 몫함수에 의해 D^n_a - \partial D^n_a 와 위상동형이 된다.
  3. 이렇게 구성한 각 n-뼈대를 모두 모은 집합 X = \bigcup_n X^n약한 위상, 즉 A⊂X이 열린 집합(마찬가지로, 닫힌 집합)일 필요충분조건이 각 n에 대해 A∩Xⁿ이 열린 집합(마찬가지로, 닫힌 집합)인 것이 되도록 위상을 주면 X는 하나의 CW 복합체가 된다.

부분복합체[편집]

어떤 CW 복합체 X가 주어지면 이 부분공간으로서 부분복합체(subcomplex) A를 생각할 수 있다. CW 복합체 X의 부분공간이 다시 CW 복합체가 되면 부분복합체가 되는데, 일반적으로는 다음의 두 성질만 만족하면 된다.[1]:520

  • A는 X에 속하는 세포들로 구성된다.
  • A에 속하는 세포의 폐포는 항상 다시 A에 속한다.

성질[편집]

모든 CW 복합체는 국소 축약 가능 공간이며 파라콤팩트 공간이다. 유한 개의 세포들로 구성된 CW 복합체는 콤팩트 공간이다.

화이트헤드 정리(영어: Whitehead’s theorem)[2][3][1]:346, Theorem 4.5에 따르면, 두 CW 복합체 사이의 연속 함수호모토피 동치가 될 필요충분조건은 이 함수가 약한 호모토피 동치(모든 호모토피군동형을 유도하는 연속 함수)를 이루는 것이다.

CW 복합체들의 모임은 다음과 같은 연산에 대하여 닫혀 있다.

CW 복합체의 임의 열린 세포는 항상 어떤 유한 차원 부분복합체에 포함된다. 그리고 CW 복합체의 콤팩트 부분공간은 항상 어떤 유한 개의 열린 세포에 포함되므로, CW 복합체의 임의의 콤팩트 부분 공간은 항상 어떤 유한 차원 부분복합체에 포함된다.

CW 복합체의 호몰로지코호몰로지세포 호몰로지로 쉽게 계산할 수 있다.

[편집]

유클리드 공간 \mathbb R^n 위에는 다음과 같은 CW 구조를 줄 수 있다.

  • 0-뼈대는 격자 \mathbb Z^n\subset\mathbb R^n이다.
  • 1-뼈대는 \mathbb R^n 속의, 격자점들에 대한 선분들이다.
  • 2-뼈대는 \mathbb R^n 속의, 격자점들에 대한 정사각형들이다.
  • n-뼈대는 격자점들에 대한 n차원 하이퍼큐브들이다.

n차원 초구 \mathbb S^n 위에는 다음과 같은, 두 개의 세포만을 갖는 CW 구조를 줄 수 있다.

  • 하나의 0차원 세포 \bullet이다.
  • 하나의 n차원 세포. 이 세포의 경계 전체는 \bullet으로 이어붙여진다.

2n차원 복소수 사영 공간 \mathbb{CP}^n 위에는 n+1개의 세포로 구성된 CW 구조가 존재한다. 이 경우, 각 짝수 차원 0,2,4,\dots,2n에 세포가 하나씩 존재한다.

n차원 실수 사영 공간 \mathbb{RP}^n 위에는 n+1개의 세포로 구성된 CW 구조가 존재한다. 이 경우, 각 차원 0,1,2,\dots,n에 세포가 하나씩 존재한다.

CW 복합체가 아닌 공간[편집]

무한 차원 힐베르트 공간은 CW 복합체와 위상동형이지 않다. 무한 차원 힐베르트 공간은 베르 공간이므로, 가산 개의 뼈대들의 합집합으로 나타낼 수 없다. 그러나 이는 축약 가능 공간이므로, CW 복합체와 호모토피 동치이다.

다음과 같은 공간은 국소 축약 가능 공간이 아니므로, CW 복합체와 위상동형이지 않다.

\{re^{2\pi i \theta} : 0 \leq r \leq 1, \theta \in \mathbb Q\} \subset \mathbb C

그러나 이는 축약 가능 공간이므로, CW 복합체와 호모토피 동치이다.

역사[편집]

존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드가 1949년에 화이트헤드 정리를 증명하기 위하여 정의하였다.[2][3] "CW 복합체"라는 이름에서, C는 "폐포 유한"(영어: closure finite)을 뜻하고, W는 약한 위상(영어: weak topology)을 뜻한다.

참고 문헌[편집]

  1. Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001. 
  2. Whitehead, J. H. C. (1949). “Combinatorial homotopy I” (영어). 《Bulletin of the American Mathematical Society》 55 (3): 213–245. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09175-9. ISSN 0273-0979. MR 0030759. 
  3. Whitehead, J. H. C. (1949). “Combinatorial homotopy II” (영어). 《Bulletin of the American Mathematical Society》 55 (5): 453–496. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09213-3. ISSN 0273-0979. MR 0030760. 
  4. Milnor, John (1959년 2월). “On spaces having the homotopy type of a CW-complex” (영어). 《Transactions of the American Mathematical Society》 90 (2): 272–280. doi:10.1090/S0002-9947-1959-0100267-4. ISSN 0002-9947. JSTOR 1993204. MR 0100267. 
  • Lundell, Albert T.; Stephen Weingram (1970). 《The topology of CW complexes》 (영어). Van Nostrand University Series in Higher Mathematics. Van Nostrand Reinhold Company. ISBN 0-442-04910-2. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]