CW 복합체

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CW 복합체(-復合體, CW complex) 또는 세포 복합체(독일어: Zellkomplex, cell complex)는 호모토피 이론에서 사용되는, 일련의 세포들로 분해될 수 있는 위상공간이다. 이름의 유래는 '폐포 유한(C, Closure finite)'과 '약위상(W, Weak topology)'이다. 직관적으로 설명하자면, CW 복합체는 세포(cell)들을 적당히 이어붙여 만들어진다. 여기서 '이어붙인다'는 것은, 위상수학적인 도구인 몫공간을 이용하는 것이다.

역사[편집]

존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드호모토피 이론의 기초를 다듬기 위하여 정의하였다.

공식화[편집]

유클리드 공간에서 n차원 닫힌 세포(closed cell)는 적당한 n차원 닫힌 공(closed ball)과 위상동형이고, n차원 열린 세포(open cell)는 n차원 열린 공(open ball)과 위상동형이다. 0차원 세포는 원소가 하나뿐인 집합이다.

이러한 세포 개념을 이용하면 다음과 같이 CW 복합체를 정의할 수 있다. CW 복합체 X는 적당한 열린 세포들(여러 차원의 열린 세포가 가능하다) 및 0차원 세포들로 분할할 수 있는 하우스도르프 공간으로, 다음의 두 조건을 만족하는 것이다.

  • X의 분할에 속하는 각 n차원 열린 세포 C마다, n차원 닫힌 공에서 X로 가는 함수 f가 존재하여 다음을 만족한다.
  • X의 부분집합이 닫힌 집합필요충분조건은 어떤 닫힌 집합 안에서 임의 세포의 폐포와의 교점이 존재하는 것이다.

귀납적 정의[편집]

CW 복합체는 n차원 뼈대(skeleton)를 이용해 귀납적으로 정의할 수도 있다. 다음과 같이 구성하면 된다.[1]

  1. 우선 0차원의 0-뼈대를 적당한 이산적인 점들로 잡는다.
  2. 이제 n-1-뼈대에서 n-뼈대를 구성하기 위하여, n차원 세포 e^n_a 를(여기서 a는 붙일 세포의 개수를 지정하는 첨수족의 원소) n-1-뼈대에 함수 \phi_a: S^{n-1} \to X^{n-1} 를 이용해 붙인다. 즉, 가장자리 \partial D^n_a[2] 속하는 x에 대해서 x와 \phi_a(x) 를 동치관계 r에 의해 동일시하는 몫공간 X^n = (X^{n-1}\bigsqcup_a D^n_a) / r을 생각하는 것이다. 여기서 각 세포 e^n_a 는 이 몫공간의 몫함수에 의해 D^n_a - \partial D^n_a 와 위상동형이 된다.
  3. 이렇게 구성한 각 n-뼈대를 모두 모은 집합 X = \bigcup_n X^n약위상, 즉 A⊂X이 열린 집합(마찬가지로, 닫힌 집합)일 필요충분조건이 각 n에 대해 A∩Xⁿ이 열린 집합(마찬가지로, 닫힌 집합)인 것이 되도록 위상을 주면 X는 하나의 CW 복합체가 된다.

사례[편집]

성질[편집]

  • CW 복합체는 국소 축약가능(locally contractible)하다.
  • CW 복합체는 화이트헤드 정리를 만족한다. 즉, CW 복합체 간의 사상이 두 공간 간의 호모토피 동치쌍(homotopy equivalences) 중 하나가 될 필요충분조건은 이 사상이 모든 호모토피군에 대해 동형사상을 유도하는 것이다.
  • 두 CW 복합체의 곱공간도 CW 복합체가 된다. 대체로 이 경우 약위상은 곱위상이 되지만, 곱공간이 비가산 개의 세포를 포함하고 또 원래의 두 CW 복합체가 모두 국소 콤팩트 공간이 아닐 경우, 곱위상보다 더 섬세한(finer) 위상이 된다.
  • CW 복합체의 덮개공간도 CW 복합체이다
  • CW 복합체는 파라콤팩트 공간이다.
  • 함수공간 Hom(X, Y)은 일반적으로 CW 복합체가 아니지만, 적당한 CW 복합체가 존재하여 항상 이것과 호모토피 동치가 된다는 것이 존 밀너(John Milnor)에 의해 1959년 증명되었다.[3]

부분복합체[편집]

어떤 CW 복합체 X가 주어지면 이 부분공간으로서 부분복합체(subcomplex) A를 생각할 수 있다. CW 복합체 X의 부분공간이 다시 CW 복합체가 되면 부분복합체가 되는데, 일반적으로는 다음의 성질만 만족하면 된다.[4]

  1. A는 X에 속하는 세포들로 구성된다.
  2. A에 속하는 세포의 폐포는 항상 다시 A에 속한다.

성질[편집]

  • CW 복합체의 임의 열린 세포는 항상 어떤 유한 차원 부분복합체에 포함된다.
  • 그리고 CW 복합체의 콤팩트 부분공간은 항상 어떤 유한 개의 열린 세포에 포함되므로, 다음 따름정리를 얻는다.
    • CW 복합체의 임의의 콤팩트 부분공간은 항상 어떤 유한 차원 부분복합체에 포함된다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. Hatcher 2002, p. 519.
  2. 여기서 S^n은 n차원 구면, D^n은 n차원 원판을 의미한다.
  3. Milnor, John, "On spaces having the homotopy type of a CW-complex" Trans. Amer. Math. Soc. 90 (1959), 272–280.
  4. Hatcher 2002, p. 520.

참고 문헌[편집]