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위상 벡터 공간

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수학에서 위상 벡터 공간(位相vector空間, 영어: topological vector space, 약자 TVS)은 호환되는 위상이 주어진 벡터 공간이다.

정의[편집]

위상환이라고 하자. 그렇다면 -위상 왼쪽 가군(영어: topological left -module) 는 다음 두 성질을 만족시키는, 위상 공간의 구조를 가지는 -왼쪽 가군이다.

  • (덧셈의 연속성) 벡터 덧셈 연속 함수다. (여기서 곱위상을 갖춘다.)
  • (스칼라곱의 연속성) 스칼라곱 연속 함수다. (여기서 곱위상을 갖춘다.)

마찬가지로 -위상 오른쪽 가군을 정의할 수 있다. 물론, 가환환이라면 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

만약 위상체라면, -위상 벡터 공간이라고 한다. (월터 루딘과 같은 일부 저자들은 여기에 T1 공간 조건을 추가하기도 한다.)

모든 위상 왼쪽/오른쪽 가군은 특히 아벨 위상군이므로, 표준적인 균등 공간 구조를 갖는다. 이 경우, 덧셈과 스칼라곱이 사실 균등 연속 함수임을 보일 수 있다.

위상 벡터 공간의 부분 집합[편집]

실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자.

-위상 벡터 공간 속의 부분 집합 에 대하여, 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.

개념 정의
균형 집합 임의의 스칼라 , 에 대하여
유계 집합 임의의 0의 근방 에 대하여, 인 스칼라 가 존재
흡수 집합

특히, 위와 같은 유계 집합의 정의를 통해, 모든 -위상 벡터 공간은 유계형 집합을 이룬다.

연산[편집]

연속 쌍대 공간[편집]

위상환 에 대한 위상 왼쪽 가군 이 주어졌을 때, 연속 가군 준동형 들의 집합은 -위상 오른쪽 가군을 이루며, 이를 연속 쌍대 가군 이라고 한다. 만약 위상체일 경우, 이는 연속 쌍대 공간이라고 한다.

이는 (대수적) 쌍대 공간보다 일반적으로 더 작다.

약한 위상[편집]

위상 벡터 공간 (또는 위상 가군) 위에는 항상 원래 위상보다 더 엉성한 특별한 위상을 표준적으로 줄 수 있으며, 이를 약한 위상(弱한位相, 영어: weak topology)이라고 한다. 이 경우, 약한 위상과 구별하기 위하여 의 원래 위상을 강한 위상(強한位相, 영어: strong topology)이라고 한다.

구체적으로, 위상환 에 대한 위상 왼쪽 가군 연속 쌍대 가군 으로 생성되는 시작 위상약한 위상이라고 한다. 즉, 약한 위상은 연속 쌍대 가군의 원소를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 집합 에 약한 위상을 부여한 것을 라고 표기하자.

약한 위상의 기저는 구체적으로 다음과 같다.

여기서 열린집합들의 족이다.

정의에 따라, 임의의 위상 가군 위의 약한 위상은 항상 원래 (강한) 위상보다 더 엉성한 위상이다. 또한, 약한 위상을 취하는 연산은 멱등 연산이다. 즉, 임의의 위상환 위의 위상 왼쪽 가군 에 대하여, 다음이 성립한다.

성질[편집]

분리공리[편집]

실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 에 대하여, 다음 분리공리들이 서로 동치이다.

즉, 위상 벡터 공간에 대해서는 T1부터 T(= 티호노프 공간)까지의 성질들이 서로 동치가 된다.

거리화 가능성[편집]

실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.[1]:18, Theorem 1.24

이는 위상군버코프-가쿠타니 정리의 특수한 경우다.

유한 차원[편집]

실수체나 복소수체에 대한 모든 유한 차원 위상 벡터 공간은 완비 균등 공간이다.

실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 , 에 대하여, 만약

  • , 하우스도르프 공간이며,

라면, 모든 전단사 선형 변환

위상 동형이다. 즉, 하우스도르프 조건을 가정하면, 실수체나 복소수체에 대한 유한 차원 위상 벡터 공간은 이나 ()밖에 없다.[1]:16, Theorems 1.21[2]:22, Theorem 3.5 하우스도르프 조건을 없애면 이는 더 이상 성립하지 않는다. 예를 들어, 임의의 실수·복소수 벡터 공간 위에 비이산 위상을 입혀 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다.

실수체나 복소수체에 대한 하우스도르프 위상 벡터 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:17, Theorems 1.22[2]:23, Theorem 3.6

실수체나 복소수체에 대한 하우스도르프 위상 벡터 공간 의 모든 유한 차원 부분 공간 닫힌집합이다. 하우스도르프 조건을 가정하지 않으면 이는 더 이상 성립하지 않는다. 예를 들어, 비이산 위상을 갖춘, 1차원 이상의 위상 벡터 공간의 유일한 0차원 부분 공간은 닫힌집합이 아니다.

각주[편집]

  1. Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. New York, NY: McGraw-Hill. MR 1157815. Zbl 0867.46001. 
  2. Schaefer, Helmut H. (1971). 《Topological vector spaces》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 3 3 printing correct판. New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4684-9928-5. ISBN 978-0-387-05380-6. ISSN 0072-5285. MR 0342978. Zbl 0217.16002. 

외부 링크[편집]