모스 이론

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미분위상수학에서, 모스 이론(Morse理論, 영어: Morse theory)은 다양체위상수학을 그 위에 정의된 매끄러운 함수로 분석하는 분야이다.[1][2][3][4] 이 경우 함수의 임계점을 통해 다양체의 호몰로지를 다룰 수 있다.

전개[편집]

모스 함수와 모스 지표[편집]

콤팩트 매끄러운 다양체라고 하고, 그 위에 매끄러운 함수 이 있다고 하자. 임계점들은 기울기가 0인 의 부분집합이다. 특이점 모스 지표(Morse指標, 영어: Morse index)는 에서의 헤세 행렬의 음의 고윳값의 수이고, 라고 쓰자.

모스 함수(Morse函數, 영어: Morse function)는 모든 임계점들의 헤세 행렬이 비퇴화 쌍선형 형식인 함수다. 매끄러운 함수 의 공간 위에 임의의 리만 계량을 가해, 다음과 같은 일련의 노름들로 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다.

이 프레셰 위상을 위상이라고 하고, 리만 계량에 의존하지 않는다. 이 위상에 따라, 모스 함수들의 부분공간은 조밀 집합이다.

세포 구조[편집]

콤팩트 매끄러운 다양체 위에 모스 함수 가 있다고 하자. 그렇다면

로 정의하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

  • 만약 사이에 의 임계값이 없다면, 미분동형이다.
  • 만약 의 임계점이고, 또한 이외 다른 임계점을 포함하지 않는다면, 세포를 추가한 공간과 호모토피 동치이다.

따라서, 모스 함수 는 다양체 호모토피 동치세포 복합체를 결정짓는다. 이 세포 복합체에서 지표가 인 특이점은 차 세포에 대응된다.

모스 부등식[편집]

지표가 인 특이점의 수를 라고 하자. 그렇다면 세포 복합체의 호몰로지 이론에 따라서 다음이 성립한다.

여기서 베티 수이고, 오일러 지표다. 또한, 세포 복합체 호몰로지로부터 다음을 쉽게 알 수 있다

이를 약한 모스 부등식(弱한Morse不等式, 영어: weak Morse inequality)이라고 한다.

약한 모스 부등식을 다음과 같은 강한 모스 부등식(強한Morse不等式, 영어: strong Morse inequality)으로 강화시킬 수 있다. 모든 에 대하여, 다음이 성립한다.

모스 호몰로지[편집]

기울이지 않은 원환면 위의 높이 함수는 모스 함수이지만, 안장점에서 횡단 교차 조건을 충족시키지 못하여 모스-스메일 함수가 아니다.
살짝 기울인 원환면 위의 높이 함수는 모스-스메일 함수이다.

콤팩트 매끄러운 다양체 의 호몰로지를 다음과 같이 모스 이론으로 정의할 수 있다. 이 호몰로지를 모스 호몰로지(영어: Morse homology)라고 하고, 다음과 같이 정의한다.

콤팩트 매끄러운 다양체 위에 임의의 리만 계량 와 모스 함수 를 정의하자. 이 경우 그 기울기 벡터장 을 정의할 수 있다. 각 임계점 에 대하여, 의 안정 부분공간(stable subspace) 과 불안정 부분공간(unstable subspace) 을 정의할 수 있다. 만약 모든 임계점들의 안정 부분공간과 불안정 부분공간이 횡단 교차(transversal intersection)한다면 (즉, 모든 에서 이라면) 순서쌍 모스-스메일 함수(Morse-Smale函數, 영어: Morse–Smale function)라고 한다.[5] 이는 마스턴 모스스티븐 스메일의 이름을 딴 것이다.

의 기울기 흐름(gradient flow)은 의 임계점들을 연결시킨다. 두 임계점 , 사이의 기울기 흐름들의 모듈러스 공간 을 정의하자. 이 모듈러스 공간의 차원은 임계점들의 모스 지표의 차의 절댓값과 같다.

모스-스메일 함수 가 주어진 콤팩트 매끄러운 다양체 위에, 모스 사슬 복합체(Morse사슬複合體, 영어: Morse chain complex) 는 모스 지표가 인 임계점들로 생성되는 자유 아벨 군이며, 그 위에 정의된 경계 연산자

로부터 시작하는 의 기울기 흐름들의 (부호가 붙은) 종점들의 합으로 대응시킨다. 이 사슬 복합체로부터 정의한 호몰로지

모스 호몰로지라고 한다. 이는 모스-스메일 함수의 선택에 의존하지 않으며, 또한 다른 호몰로지 이론(특이 호몰로지, 세포 호몰로지 등)과 일치함을 보일 수 있다.

모스-위튼 코호몰로지[편집]

모스 호몰로지는 초대칭 양자역학과 밀접한 관계를 가진다. 이를 사용하여, 모스 (코)호몰로지를 드람 코호몰로지호지 이론을 사용하여 재정의할 수 있다.[4][6] 이는 에드워드 위튼이 발견하였고,[7] 모스-위튼 코호몰로지(영어: Morse–Witten cohomology)라고 불린다.

모스 함수 가 주어진 콤팩트 리만 다양체 위에 다음과 같은 연산자들을 정의하자.

그렇다면 고윳값에 따라, 위의 미분형식들의 공간 을 다음과 같이 분해할 수 있다.

이 경우, 일 때 호지 이론에 따라서

이다. 여기서 드람 코호몰로지다. 반면, 로 보내자. 그렇다면 는 모스 지표가 인 임계점 근처에 국소화된 차 미분형식들로 이루어진 기저를 가진다. 즉,

이다. 여기서 는 모스 지표가 인 임계점들의 개수다.

이 경우, 다음과 같은 모스-위튼 복합체(Morse-Witten複合體, 영어: Morse–Witten complex)가 존재한다.

여기서 공경계 연산자 는 모스-스메일 호몰로지에서의 기울기 흐름과 대응한다. 이 복합체의 코호몰로지드람 코호몰로지와 일치하며, 모스-위튼 코호몰로지라고 한다. 이는 을 과녁 공간으로 갖는 초대칭 시그마 모형으로 다음과 같이 해석할 수 있다.

이는 을 과녁 공간으로 갖는 초대칭 시그마 모형으로 다음과 같이 해석할 수 있다.

기호 수학적 설명 물리학적 설명
위의 매끄러운 함수들 위의 보손들의 힐베르트 공간
위의 미분형식들의 공간 페르미온 수가 인 상태들의 힐베르트 공간
외미분 초대칭 연산자의 하나
외미분의 수반(adjoint) 초대칭 연산자의 하나
라플라스-벨트라미 연산자 자유 입자의 해밀토니언
모스 지표가 인 임계점들로 생성되는 벡터 공간 페르미온 수가 섭동적 초대칭 바닥 상태들의 힐베르트 공간
모스-위튼 복합체의 공경계 연산자 순간자로 매개되는 터널 효과
모스-위튼 코호몰로지 군 참된 (비섭동적인) 초대칭 진공들의 힐베르트 공간

역사와 어원[편집]

마스턴 모스 이전에도 이미 아서 케일리[8]제임스 클러크 맥스웰[9] 등이 측량학에 관련하여, 곡면 위에 정의된 높이 함수의 특이점들을 고려하였다.

마스턴 모스변분법을 연구하면서 모스 이론을 1934년 도입하였다.[10] 이후 모스는 평생을 주로 모스 이론을 연구하는 데 바쳤다.

1950년대에, 라울 보트는 모스 이론을 특이점들이 고립돼 있지 않고 닫힌 집합을 이루는 경우로 확장한 모스-보트 이론(Morse–Bott theory)을 도입하였고, 이를 사용하여 위상 K이론보트 주기성(Bott periodicity)을 증명하였다.[11][12][13]

1982년에 에드워드 위튼은 모스 이론을 초대칭 양자역학을 사용하여 재정의하였다. 이를 모스-위튼 이론(Morse–Witten theory)이라고 한다.[7] 1988년에 안드레아스 플뢰어(독일어: Andreas Floer)는 함수 공간에서의 모스 코호몰로지를 사용하여, 심플렉틱 다양체 및 3차원 다양체에 대한 플뢰어 호몰로지를 정의하였다.

각주[편집]

  1. Matsumoto, Yukio (2002). 《An Introduction to Morse Theory》. Iwanami Series in Modern Mathematics (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1022-4. MR 1873233. 
  2. Nicolaescu, Liviu (2011). 《An Invitation to Morse Theory》. Universitext (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4614-1105-5. ISBN 978-1-4614-1104-8. ISSN 0172-5939. MR 2883440. 
  3. Bott, Raoul (1982년 9월). “Lectures on Morse theory, old and new”. 《Bulletin of the American Mathematical Society (new series)》 (영어) 7 (2): 331–358. doi:10.1090/S0273-0979-1982-15038-8. ISSN 0273-0979. MR 663786. 
  4. Bott, Raoul (1988). “Morse theory indomitable”. 《Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques》 (영어) 68 (1): 99–114. doi:10.1007/BF02698544. ISSN 0073-8301. MR 1001450. 
  5. Shub, Michael (2007). “Morse–Smale systems”. 《Scholarpedia》 (영어) 2 (3): 1785. doi:10.4249/scholarpedia.1785. ISSN 1941-6016. 
  6. Henniart, Guy (1985). “Les inégalités de Morse (d’après E. Witten)”. 《Astérisque》 (프랑스어). 121–122: 43–61. MR 768953. Zbl 0565.58033. 
  7. Witten, Edward (1982). “Supersymmetry and Morse theory”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 17 (4): 661–692. MR 683171. Zbl 0499.53056. 
  8. Cayley, Arthur (1859). “On Contour and Slope Lines”. 《Philosophical Magazine (series 4)》 (영어) 18 (120): 264-268. doi:10.1080/14786445908642760. 
  9. Maxwell, James Clerk (1870). “On hills and dales”. 《Philosophical Magazine (series 4)》 (영어) 40 (269): 421–427. doi:10.1080/14786447008640422. 
  10. Morse, Marston (1934). 《The Calculus of Variations in the Large》. American Mathematical Society Colloquium Publication (영어) 18. New York: American Mathematical Society. JFM 60.0450.01. 
  11. Bott, Raoul (1956). “An application of the Morse theory to the topology of Lie-groups”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 84: 251–281. ISSN 0037-9484. MR 0087035. 
  12. Bott, Raoul (1957). “The stable homotopy of the classical groups”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 43: 933–935. ISSN 0027-8424. JSTOR 89403. MR 0102802. 
  13. Bott, Raoul (1959). “The stable homotopy of the classical groups”. 《Annals of Mathematics (second series)》 70: 313–337. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970106. MR 0110104. 

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]