그라스만 다양체

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대수기하학에서, 그라스만 다양체(Graßmann多樣體, 영어: Grassmannian)는 어떤 벡터 공간의 주어진 차원의 부분 벡터 공간들을 분류하는 모듈러스 공간이다.

정의[편집]

스킴 위의 준연접층 및 양의 정수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 위의 스킴 에 대하여, -가군층

의 몫가군층들 가운데, 계수 국소 자유 가군층인 것들의 집합

라고 하자. 이는 함자

를 정의한다. 이 함자는 표현 가능 함자이며, 그 표현은 분리 -스킴 으로 잡을 수 있다. 이를 그라스만 스킴이라고 한다.

표현 가능 함자의 정의에 따라서 표준적인 스킴 동형

이 존재한다.

이며 인 경우, 그라스만 스킴 사영 공간 과 같다.

고전적 경우[편집]

고전적인 경우는 어떤 체 에 대하여 이며 위의 벡터 공간 에 의하여 주어질 때이다. 즉, 인 경우이다. 이 경우, 그라스만 스킴 -점들은 속의 차원 부분 벡터 공간들과 일대일 대응한다. 특히,

  • 가 유한 차원 실수 벡터 공간일 경우, 그라스만 스킴은 콤팩트 매끄러운 다양체의 구조를 가진다.
  • 가 유한 차원 복소수 벡터 공간일 경우, 그라스만 스킴은 콤팩트 복소다양체의 구조를 가진다.
  • 대수적으로 닫힌 체이며, 가 유한 차원 -벡터 공간일 경우, 그라스만 스킴은 위의 비특이 사영 대수다양체의 구조를 가진다. 이 경우, 사영 공간으로의 매장은 플뤼커 매장으로 주어진다.

플뤼커 매장[편집]

가 체 위의 유한 차원 벡터 공간이며, 라고 하자. 그렇다면 플뤼커 매장(영어: Plücker embedding)은 다음과 같다.

여기서 우변은 동차 좌표이다.

플뤼커 매장은 다음과 같은 플뤼커 방정식을 만족시킨다. 의 임의의 두 차원 부분 벡터 공간

및 임의의 음이 아닌 정수 에 대하여,

이는 2차 동차 다항식이다. 표수가 0인 경우, 그라스만 다양체는 플뤼커 방정식만으로 완전히 정의된다.

[편집]

표수 0에서, 사영 공간이 아닌 가장 간단한 그라스만 다양체 를 생각해 보자. 이 경우, 그라스만 다양체는 차원 사영 공간 속에서, 플뤼커 방정식

을 통해 정의된다. 여기서 는 5차원 사영 공간의 동차 좌표이다.

외부 링크[편집]