미분 등급 대수

호몰로지 대수학에서 미분 등급 대수(微分等級代數, 영어: differential graded algebra, 약자 DGA)는 곱 규칙을 만족시키는 공경계 연산이 주어진 공사슬 복합체이다. 미분 대수의 개념의 일반화이다.

정의[편집]

가환환 $K$ 가 주어졌다고 하자.

추상적 정의[편집]

음이 아닌 차수 공사슬 복합체의 아벨 범주 $\operatorname {Ch} ^{\geq 0}(\operatorname {Mod} _{K})$ 를 생각하자. 이는 텐서곱에 대하여 대칭 모노이드 범주를 이루며, 따라서 모노이드 대상과 가환 모노이드 대상을 정의할 수 있다.

미분 등급 대수는 $\operatorname {Ch} ^{\geq 0}(\operatorname {Mod} _{K})$ 의 모노이드 대상이다. 가환 미분 등급 대수(可換微分等級代數, 영어: commutative differential graded algebra, CDGA)는 $\operatorname {Ch} ^{\geq 0}(\operatorname {Mod} _{K})$ 의 가환 모노이드 대상이다. 이들의 범주를 각각 $\operatorname {DGA} _{K}^{\geq 0}$ 및 $\operatorname {CDGA} _{K}^{\geq 0}$ 이라고 표기하자.

음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 대신, 모든 정수 차수의 공사슬 복합체를 사용할 수도 있다. 이들을 사용하여 얻는 범주를 각각 $\operatorname {DGA} _{K}^{\mathbb {Z} }$ 및 $\operatorname {CDGA} _{K}^{\mathbb {Z} }$ 라고 표기하자.

구체적 정의[편집]

$K$ 에 대한 미분 등급 대수 $(A,\mathrm {d} )$ 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

$\textstyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }A_{i}$ 는 결합 $K$ -등급 대수이다.
$d\colon A_{i}\to A_{i+1}$ 는 등급이 1인 $K$ -선형 변환이다.

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

(멱영성) $\mathrm {d} ^{2}=0$ . 즉, $(A,\mathrm {d} )$ 는 공사슬 복합체이다.
(곱 규칙) 모든 동차 원소 $a,b\in A$ 에 대하여, $\mathrm {d} (ab)=(\mathrm {d} a)b+(-1)^{\deg a}a(\mathrm {d} b)$

$K$ 에 대한 가환 미분 등급 대수는 (자연수 등급의) 미분 등급 대수 가운데, $(-)^{\deg }$ 에 대한 등급 교환 법칙을 따르는 것이다. 즉,

ab=(-1)^{\deg a\deg b}ba

이다.

연산[편집]

직접곱[편집]

가환환 $K$ 위의 (유한 개 또는 무한 개의) 미분 등급 대수들의 족 $(A^{(i)})_{i\in I}$ 이 주어졌을 때, 이들의 곱집합

A_{n}=\prod _{i\in I}A_{n}^{(i)}

A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}

은 미분 등급 대수를 이룬다.

몫[편집]

가환환 $K$ 위의 미분 등급 대수 $A$ 의 미분 등급 아이디얼(微分等級ideal, 영어: differential graded ideal) ${\mathfrak {a}}\subseteq A$ 는 다음 세 조건들을 모두 만족시키는 부분 집합이다.

$A$ 의 양쪽 아이디얼이다.
등급 벡터 공간이다. 즉, 임의의 $a\in {\mathfrak {a}}$ 에 대하여, $\textstyle a=\sum _{i}a_{i}$ , $a_{i}\in A_{i}$ 라면, 모든 $i\in \mathbb {N}$ 에 대하여 $a_{i}\in {\mathfrak {a}}$ 이다.
공사슬 복합체이다. 즉, 임의의 $a\in {\mathfrak {a}}$ 에 대하여, $\mathrm {d} a\in {\mathfrak {a}}$ 이다.

미분 등급 아이디얼 ${\mathfrak {a}}$ 가 주어졌을 때, 몫 미분 등급 대수(영어: quotient differential graded algebra) $A/{\mathfrak {a}}$ 를 정의할 수 있다. 반대로, 임의의 미분 등급 대수의 준동형 $A\to B$ 의 핵은 미분 등급 아이디얼을 이룬다.

코호몰로지[편집]

미분 등급 대수의 코호몰로지 $\operatorname {H} ^{\bullet }(A,\mathrm {d} )$ 는 $\mathrm {d} =0$ 인 미분 등급 대수를 이룬다. 모든 미분 등급 대수는 스스로의 코호몰로지로 가는 미분 등급 대수 준동형

[-]_{A}\colon A\to \operatorname {H} (A)

을 갖는다.

또한, 임의의 미분 등급 대수 준동형 $f\colon A\to B$ 은 그 코호몰로지의 미분 등급 대수 준동형

f_{*}\colon \operatorname {H} (A)\to \operatorname {H} (B)

을 유도한다.

만약 미분 등급 대수 준동형 $f$ 에 대하여, $f_{*}$ 가 동형 사상이라면, $f$ 를 유사동형(類似同型, 영어: quasi-isomorphism)이라고 한다.

(이름과 달리, 두 미분 등급 대수 사이의 유사동형의 존재는 동치 관계를 이루지 않으며, 동치 관계를 얻기 위해서는 이들을 포함하는 가장 작은 동치 관계를 취해야 한다. 구체적으로, 이는 유사동형들의 지그재그가 된다.)

만약 $[-]_{A}\colon A\to \operatorname {H} (A)$ 가 유사동형이라면, $A$ 를 형식적 미분 등급 대수(形式的微分等級代數, 영어: formal differential graded algebra)라고 한다. 형식성은 유사동형에 대하여 불변이다.

성질[편집]

표수 0인 체 $K$ 위에서, 다음과 같은 범주들을 생각하자.

자연수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 $\operatorname {CDGA} _{K}^{\geq 0}$
자연수 등급의 미분 등급 대수의 범주 $\operatorname {DGA} _{K}^{\geq 0}$
정수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 $\operatorname {CDGA} _{K}^{\mathbb {Z} }$
정수 등급의 미분 등급 대수의 범주 $\operatorname {DGA} _{K}^{\mathbb {Z} }$

$\operatorname {CDGA} _{K}^{\geq 0}$ 및 $\operatorname {DGA} _{K}^{\geq 0}$ 위에는 다음과 같은 모형 범주 구조를 줄 수 있다.

약한 동치는 유사동형이다.
올뭉치는 각 차수마다 전사 함수인 준동형이다.
- 모든 대상이 올대상이다.
쌍대올뭉치는 상대 설리번 대수의 왼쪽 역사상이다.
- 쌍대올대상은 설리번 대수이다. 이들은 항상 가환 대수이다.

$\operatorname {DGA} _{K}^{\geq 0}$ 의 경우, 망각 함자 $\operatorname {CDGA} _{K}^{\geq 0}\to \operatorname {DGA} _{K}^{\geq 0}$ 는 왼쪽 수반 함자를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자를 이룬다.