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퀼런 수반 함자

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호모토피 이론에서 퀼런 수반 함자(Quillen隨伴函子, 영어: Quillen adjunction)는 두 모형 범주 사이의 수반 함자 가운데, 모형 범주 구조와 호환되는 것이다.

정의[편집]

퀼런 수반 함자[편집]

모형 범주 , 사이의 수반 함자

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 수반 함자를 퀼런 수반 함자(영어: Quillen adjunction)라고 한다.

  • 는 쌍대올뭉치를 쌍대올뭉치로 대응시키며, 자명한 쌍대올뭉치를 자명한 쌍대올뭉치로 대응시킨다.
  • 는 올뭉치를 올뭉치로 대응시키며, 자명한 올뭉치를 자명한 올뭉치로 대응시킨다.

이 경우, 왼쪽 퀼런 수반 함자(영어: left Quillen-adjoint functor), 오른쪽 퀼런 수반 함자(영어: right Quillen-adjoint functor)라고 한다.

퀼런 동치[편집]

퀼런 수반 함자

에 대해 다음 조건들은 모두 동치이며, 이를 만족시킨다면 퀼런 동치(Quillen同値, 영어: Quillen equivalence)라고 한다.

  • 임의의 쌍대올대상 및 올대상 에 대하여, 가 약한 동치일 필요 충분 조건가 약한 동치인 것이다.
  • 가 호모토피 범주들의 동치이다.
  • 가 호모토피 범주들의 동치이다.

성질[편집]

사상 성질의 보존[편집]

왼쪽 및 오른쪽 퀼런 함자는 약한 동치를 보존한다. 즉, 다음과 같은 표가 성립한다.

사상 왼쪽 함자 오른쪽 함자
약한 동치
쌍대올뭉치
자명한 쌍대올뭉치
올뭉치
자명한 올뭉치

위 표에서, ⭕는 함자가 이 사상 모임을 항상 보존한다는 것이며, ❌는 함자가 이 사상 모임을 보존하지 못할 수 있다는 것이다.

유도 수반 함자[편집]

왼쪽 퀼런 함자는 왼쪽 유도 함자를, 오른쪽 퀼런 함자는 오른쪽 유도 함자를 가진다. 왼쪽 유도 함자

및 오른쪽 유도 함자

역시 서로 수반 함자이며, 이를 퀼런 수반 함자 유도 수반 함자(誘導隨伴函子, 영어: derived adjunction)라고 한다.

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단체 집합과 위상 공간[편집]

단체 집합모형 범주 위상 공간모형 범주 사이에는 퀼런 동치가 존재한다. 구체적으로, 기하학적 실현 함자

특이 단체 복합체 함자

수반 함자

를 이루며, 양 범주에 각각 (퀼런) 모형 범주 구조를 부여할 경우 이는 퀼런 동치를 이룬다.

미분 등급 대수[편집]

자연수 등급 미분 등급 대수모형 범주 와 자연수 등급 가환 미분 등급 대수모형 범주 를 생각하자. 그렇다면, 망각 함자

왼쪽 수반 함자를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자를 이룬다.

역사[편집]

대니얼 퀼런모형 범주의 개념과 함께 1967년에 도입하였다.[1]

각주[편집]

  1. Quillen, Daniel G. (1967). 《Homotopical algebra》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 43. Springer. doi:10.1007/BFb0097438. MR 0223432. 

외부 링크[편집]