호몰로지 대수학에서 미분 등급 대수(微分等級代數, 영어: differential graded algebra, 약자 DGA)는 곱 규칙을 만족시키는 공경계 연산이 주어진 공사슬 복합체이다. 미분 대수의 개념의 일반화이다.
가환환
가 주어졌다고 하자.
추상적 정의[편집]
음이 아닌 차수 공사슬 복합체의 아벨 범주
를 생각하자. 이는 텐서곱에 대하여 대칭 모노이드 범주를 이루며, 따라서 모노이드 대상과 가환 모노이드 대상을 정의할 수 있다.
미분 등급 대수는
의 모노이드 대상이다. 가환 미분 등급 대수(可換微分等級代數, 영어: commutative differential graded algebra, CDGA)는
의 가환 모노이드 대상이다. 이들의 범주를 각각
및
이라고 표기하자.
음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 대신, 모든 정수 차수의 공사슬 복합체를 사용할 수도 있다. 이들을 사용하여 얻는 범주를 각각
및
라고 표기하자.
구체적 정의[편집]
에 대한 미분 등급 대수
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
는 결합
-등급 대수이다.
는 등급이 1인
-선형 변환이다.
이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.
- (멱영성)
. 즉,
는 공사슬 복합체이다.
- (곱 규칙) 모든 동차 원소
에 대하여, ![{\displaystyle \mathrm {d} (ab)=(\mathrm {d} a)b+(-1)^{\deg a}a(\mathrm {d} b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdcae153c010c86fe570c5342ee85eeb2d0b6a66)
에 대한 가환 미분 등급 대수는 (자연수 등급의) 미분 등급 대수 가운데,
에 대한 등급 교환 법칙을 따르는 것이다. 즉,
![{\displaystyle ab=(-1)^{\deg a\deg b}ba}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adaa50920b31167771003aeb94bed47165c9c843)
이다.
직접곱[편집]
가환환
위의 (유한 개 또는 무한 개의) 미분 등급 대수들의 족
이 주어졌을 때, 이들의 곱집합
![{\displaystyle A_{n}=\prod _{i\in I}A_{n}^{(i)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f283ead4de84221bfad23756359bda37407b5c)
![{\displaystyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/337d68bd2e7ef5fb1e17f8d9c863a12bc94dd0ce)
은 미분 등급 대수를 이룬다.
가환환
위의 미분 등급 대수
의 미분 등급 아이디얼(微分等級ideal, 영어: differential graded ideal)
는 다음 세 조건들을 모두 만족시키는 부분 집합이다.
의 양쪽 아이디얼이다.
- 등급 벡터 공간이다. 즉, 임의의
에 대하여,
,
라면, 모든
에 대하여
이다.
- 공사슬 복합체이다. 즉, 임의의
에 대하여,
이다.
미분 등급 아이디얼
가 주어졌을 때, 몫 미분 등급 대수(영어: quotient differential graded algebra)
를 정의할 수 있다. 반대로, 임의의 미분 등급 대수의 준동형
의 핵은 미분 등급 아이디얼을 이룬다.
코호몰로지[편집]
미분 등급 대수의 코호몰로지
는
인 미분 등급 대수를 이룬다. 모든 미분 등급 대수는 스스로의 코호몰로지로 가는 미분 등급 대수 준동형
![{\displaystyle [-]_{A}\colon A\to \operatorname {H} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5914787e34c1b758fc699019ba1e00d2a58cb612)
을 갖는다.
또한, 임의의 미분 등급 대수 준동형
은 그 코호몰로지의 미분 등급 대수 준동형
![{\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {H} (A)\to \operatorname {H} (B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee0657b74e9076070721dde13feb6ae2c6034ad)
을 유도한다.
만약 미분 등급 대수 준동형
에 대하여,
가 동형 사상이라면,
를 유사동형(類似同型, 영어: quasi-isomorphism)이라고 한다.
(이름과 달리, 두 미분 등급 대수 사이의 유사동형의 존재는 동치 관계를 이루지 않으며, 동치 관계를 얻기 위해서는 이들을 포함하는 가장 작은 동치 관계를 취해야 한다. 구체적으로, 이는 유사동형들의 지그재그가 된다.)
만약
가 유사동형이라면,
를 형식적 미분 등급 대수(形式的微分等級代數, 영어: formal differential graded algebra)라고 한다. 형식성은 유사동형에 대하여 불변이다.
표수 0인 체
위에서, 다음과 같은 범주들을 생각하자.
- 자연수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주
![{\displaystyle \operatorname {CDGA} _{K}^{\geq 0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578ab81d34e0f6a51110e67bad7b95dae97e5675)
- 자연수 등급의 미분 등급 대수의 범주
![{\displaystyle \operatorname {DGA} _{K}^{\geq 0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ff58e9554df151cfe30e8ac5ad3fa1afda01ba)
- 정수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주
![{\displaystyle \operatorname {CDGA} _{K}^{\mathbb {Z} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387bbf15a8e499da02e59e4c52adae2d99be79f7)
- 정수 등급의 미분 등급 대수의 범주
![{\displaystyle \operatorname {DGA} _{K}^{\mathbb {Z} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74be741f551a42dac0ddf71dcdf728056ae3fc34)
및
위에는 다음과 같은 모형 범주 구조를 줄 수 있다.
의 경우, 망각 함자
는 왼쪽 수반 함자를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자를 이룬다.
의 경우, 다음과 같은 모형 구조를 줄 수 있다.
- 약한 동치는 유사동형이다.
- 올뭉치는 각 차수마다 전사 함수인 준동형이다.
- 쌍대올뭉치는 약한 동치와 올뭉치로서 결정된다.
만약
가 표수 0이 아닐 경우, 위와 같은 정의들은 모형 범주 구조를 정의하지 못한다.
매끄러운 다양체
위의 미분 형식
은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우,
는 외미분이고, 대수 연산은 쐐기곱이다.
위상 공간
의 특이 코호몰로지 환
은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우
는 복시테인 준동형이며, 연산은 코호몰로지류의 컵곱이다.
리 대수의 코쥘 복합체나 기저가 주어진 벡터 공간
의 텐서 대수
역시 미분 등급 대수의 구조를 줄 수 있다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]