올대상

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모형 범주의 이론에서, 올대상(對象, 영어: fibrant object)은 끝 대상으로의 유일한 사상이 쌍대올뭉치를 이루는, 모형 범주 속의 대상이다. 마찬가지로 쌍대올대상(雙對-對象, 영어: fibrant object)은 시작 대상으로의 유일한 사상이 올뭉치를 이루는 모형 범주 속의 대상이다.

정의[편집]

모형 범주 시작 대상, 끝 대상이라고 하자. 그렇다면, 다음을 정의한다.

  • 에서의 올대상(영어: fibrant object)은 유일한 사상 이 올뭉치인 대상 이다.[1]:277, Definition 14.2.7
  • 에서의 쌍대올대상(영어: cofibrant object)은 유일한 사상 가 쌍대올뭉치인 대상 이다.[1]:277, Definition 14.2.7
  • 에서의 쌍올대상(雙-對象, 영어: bifibrant object)은 올대상이자 쌍대올대상인 대상이다.[1]:278, Definition 14.2.7

올대상 분해[편집]

모형 범주 의 대상 올대상 분해(영어: fibrant resolution)는 다음과 같다.[1]:277, Definition 14.2.7

여기서 는 호모토피 동치이며, 는 올뭉치이며, 끝 대상이다. 즉, 는 올대상이다. 만약 가 추가로 쌍대올뭉치라면, 이를 좋은 올대상 분해(영어: good fibrant resolution)라고 한다.

모형 범주 의 대상 쌍대올대상 분해(영어: cofibrant resolution)는 다음과 같다.[1]:277, Definition 14.2.7

여기서 는 호모토피 동치이며, 는 쌍대올뭉치이며, 시작 대상이다. 즉, 는 올대상이다. 만약 가 추가로 올뭉치라면, 이를 좋은 쌍대올대상 분해(영어: good cofibrant resolution)라고 한다.

성질[편집]

모형 범주의 정의에 따라, 모든 대상은 좋은 올대상 분해 및 좋은 쌍대올대상 분해를 갖는다.

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단체 집합의 모형 범주에서 올뭉치는 칸 올뭉치(영어: Kan fibration)이며, 올대상은 칸 복합체(영어: Kan complex)라고 한다.

위상 공간의 (퀼런) 모형 범주에서 CW 복합체는 쌍대올대상이다. 이에 따라, 모든 위상 공간은 CW 복합체와의 약한 호모토피 동치를 갖는다.

참고 문헌[편집]

  1. May, Peter; Ponto, Kathleen (2012년 2월). 《More concise algebraic topology: localization, completion, and model categories》 (PDF). Chicago Lectures in Mathematics (영어). University of Chicago Press. ISBN 978-022651178-8. 2017년 7월 6일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 6월 20일에 확인함. 

외부 링크[편집]