콤팩트 생성 공간

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위상수학에서, 콤팩트 생성 공간(compact生成空間, 영어: compactly generated space) 또는 k-공간(영어: k-space)은 연속 함수들의 공간이 항상 잘 정의되는 위상 공간이다. 즉, 콤팩트 생성 공간의 범주는 모든 위상 공간들의 범주와 달리 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.

정의[편집]

위상 공간 , 사이의 함수 가 다음 조건을 만족시키면, k-연속 함수라고 하자.

위상 공간 부분 집합 가 다음 조건을 만족시키면 k-닫힌집합이라고 하자.

  • 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 연속 함수 에 대하여, 닫힌집합이다.

모든 연속 함수는 k-연속 함수이지만, 연속 함수가 아닌 k-연속 함수가 존재한다. 비슷하게, 모든 닫힌집합은 k-닫힌집합이지만, 닫힌집합이 아닌 k-닫힌집합이 존재한다.

위상 공간 에 대하여 다음 네 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 콤팩트 생성 공간이라고 한다.[1]:182, Prop. 5.9.1[2]:39

  • 정의역으로 하는 모든 k-연속 함수는 연속 함수이다. 즉, 임의의 위상 공간 및 k-연속 함수 에 대하여, 는 연속 함수이다.
  • 의 모든 k-닫힌집합은 닫힌집합이다. 즉, 임의의 부분 집합 에 대하여, 닫힌집합필요충분조건은 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 와 연속 함수 에 대하여 닫힌집합인 것이다.
  • 는 콤팩트 하우스도르프 공간들의 분리합집합몫공간이다. 즉, 인 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 위의 동치 관계 가 존재한다.
  • 다음 조건을 성립시키는 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 함수들의 집합 이 존재한다.
    • 임의의 부분 집합 에 대하여, 닫힌집합필요충분조건은 모든 에 대하여 닫힌집합인 것이다.

콤팩트 생성 공간과 (k-)연속 함수의 범주를 라고 하고, 위상 공간과 연속 함수의 범주를 라고 하고, 위상 공간과 k-연속 함수의 범주를 라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

이를 합성하여 얻는 함자 범주의 동치를 이룬다.

성질[편집]

모든 국소 콤팩트 공간은 콤팩트 생성 공간이다. 모든 제1 가산 공간은 콤팩트 생성 공간이다.[3] 모든 CW 복합체는 콤팩트 생성 공간이다.[1]:139, Exercise 4.7.10

콤팩트 생성 공간의 범주론적 연산[편집]

포함 관계

에 따라, 반사 부분 범주를 이루며, 그 수반

콤팩트 생성화(영어: kaonization)라고 한다. 위상 공간 의 콤팩트 생성화 는 집합으로서 와 같지만 보다 더 섬세한 위상을 갖는다. 구체적으로, 닫힌집합은 모든 콤팩트 하우스도르프 공간 및 연속 함수 에 대하여 닫힌집합인 부분 집합 이다.

는 (와 마찬가지로) 완비 범주이며 쌍대완비 범주이다. 에서의 쌍대극한와 같으며, 에서의 극한에서의 극한의 콤팩트 생성화이다. 예를 들어, 에서의 은 다음과 같으며, 일반적으로 (위상 공간의) 곱공간과 다르다.

는 (와 달리) 데카르트 닫힌 범주이다. 임의의 두 콤팩트 생성 공간 , 사이의 (k-)연속 함수들의 집합 에 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상을 부여하자.

  • 임의의 열린집합 및 콤팩트 하우스도르프 공간 연속 함수 에 대하여, .

만약 하우스도르프 공간이라면, 이는 콤팩트-열린집합 위상과 같다. 그렇다면, 에서의 지수 대상 의 콤팩트 생성화이다.

콤팩트 생성 하우스도르프 공간[편집]

위와 마찬가지로, 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주 및 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간(영어: weakly Hausdorff space)의 범주 를 정의할 수 있다. 이들 역시 완비 범주이자 쌍대완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이다.

역사[편집]

이 개념은 원리 비톨트 후레비치가 도입하였다.[4] 이후 로널드 브라운(영어: Ronald Brown)이 1961년 박사 학위 논문에서 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주가 데카르트 닫힌 범주임을 증명하였다.[1]:199[5][6][7] 이후 1967년에 노먼 스틴로드는 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주가 대수적 위상수학을 전개하기에 가장 편리한 범주라고 제안하였다.[8]

[편집]

흔히 볼 수 있는 대부분의 위상 공간은 콤팩트 생성 공간이다. 콤팩트 생성 공간이 아닌 공간의 예로는 다음이 있다.

비가산 기수 에 대하여, 실수선의 비가산 무한 곱공간 는 콤팩트 생성 공간이 아니다.[1]:184[9]:240, Exercise 7J(b)

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Brown, Ronald (2006년 3월). 《Topology and groupoids》 (영어). Booksurge. ISBN 1-4196-2722-8. LCCN 2006901092. 
  2. May, J. Peter (1999년 9월). 《A concise course in algebraic topology》 (PDF) (영어). Chicago Lectures in Mathematics. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 978-02-2651-183-2. 
  3. http://www.math.uchicago.edu/~may/MISC/GaunceApp.pdf
  4. Gale, David (1950). “Compact Sets of Functions and Function Rings”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 1: 303–308. JSTOR 2032373. 
  5. Brown, R. (1961). 《Function spaces and FD-complexes》 (영어). 박사 학위 논문. 옥스퍼드 대학교. 
  6. Brown, R. (1963). “Ten topologies for ”. 《Quarterly Journal of Mathematics》 (영어) 14 (2): 303–319.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 20) (도움말)
  7. Brown, R. (1964). “Function spaces and product topologies”. 《Quarterly Journal of Mathematics》 (영어) 15 (2): 238–250. 
  8. Steenrod, Norman E. (1967). “A convenient category of topological spaces”. 《The Michigan Mathematical Journal》 (영어) 14: 133–152. MR 0210075. Zbl 0145.43002. doi:10.1307/mmj/1028999711. 
  9. Kelley, John L. (1975). 《General topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 27 2판. Springer. ISBN 0-387-90125-6. ISSN 0072-5285. Zbl 0306.54002. 

외부 링크[편집]