호모토피 군

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대수적 위상수학에서, 호모토피 군(homotopy群, 영어: homotopy group)은 위상 공간의 위상적 불변량의 하나로, 공간 위에 존재하는 고차원 고리들의 호모토피 동치 불변 성질을 나타낸다. 기본군의 고차 일반화이다. 기호는 .

정의[편집]

위상 공간 , 에 대하여, 연속 함수들의 호모토피류들의 집합이다. 마찬가지로, 점을 가진 공간 , 에 대하여, 는 점을 보존하는 연속 함수들의 호모토피류들의 집합이다.

임의의 점을 가진 공간 차 호모토피 군(영어: th homotopy group of ) 은 다음과 같다.

여기서 은 (임의로 밑점을 준) 차원 초구이다.

계수가 있는 호모토피[편집]

아벨 군 및 양의 정수 에 대하여, 피터슨 공간(영어: Petersen space) 은 유일한 차원에서 주어진 축소 코호몰로지를 갖는 위상 공간이다.[1]:Definition 3.1

만약 유한 생성 아벨 군이며 라면 피터슨 공간은 항상 존재하며, 추가로 이라면 그 호모토피 유형에 의하여 유일하게 결정된다.[1]:§6 (그러나 유한 생성 아벨 군이 아니라면 피터슨 공간은 존재하지 않을 수 있다.)

에 임의로 밑점을 잡았을 때, 계수의 차 호모토피 군(영어: th homotopy group of with coefficients in ) 는 다음과 같다.[2]:Definition IV.2.1[1]:Theorem 3.2

초구 은 (일 경우) 피터슨 공간 이므로, 이다.

H-군[편집]

점을 보존하는 호모토피류의 집합 의 구조는 H-군(영어: H-group) 및 H-쌍대군(영어: H-cogroup)의 개념을 통해 정의된다.

(점을 가진) H-군점을 가진 공간호모토피 범주 에서의 군 대상이며, H-쌍대군은 그 반대 범주 에서의 군 대상이다. 보다 구체적으로, H-군 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 점을 가진 공간
  • 점을 보존하는 연속 함수 . 이는 군의 이항 연산에 대응한다. 여기서 쐐기합이다.
  • 점을 보존하는 연속 함수 . 이는 군의 역원에 대응한다.

이들은 의 정의와 유사한 공리들을 만족시키지만, 모든 법칙은 "호모토피 아래" 성립한다. 예를 들어, 결합 법칙은 일반적으로 엄격히 성립하지 않지만, 다음과 같은 "호모토피 결합 법칙"이 성립한다.

마찬가지로, H-쌍대군 는 H-군의 정의에서 사상의 방향을 모두 뒤집은 것이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 점을 가진 공간
  • 점을 보존하는 연속 함수 . 이를 쌍대곱셈(영어: comultiplication)이라고 한다.
  • 점을 보존하는 연속 함수

예를 들어, 모든 위상군은 H-군을 이룬다. 초구의 경우, H-군을 이루는 것은 , , 밖에 없으며, 이들은 모두 리 군을 이룬다. (은 단위 팔원수의 집합으로 생각한다면 항등원을 갖는 마그마를 이루지만, 이는 H-군을 이루지 못한다.)

양의 정수 차원의 초구는 자연스럽게 H-쌍대군을 이룬다. 구체적으로, 일 경우 위에는 다음과 같은 CW 복합체 구조를 줄 수 있다.

  • 0차원 세포 1개 . 이는 의 적도 위의 한 점이다.
  • 차원 세포 1개. 즉, 차원 뼈대는 초구 이다. 이는 의 적도에 해당한다.
  • 차원 세포 2개. 이들은 각각 의 북반구와 남반구에 대응한다.

그렇다면, 차원 세포 에 대한 몫공간 을 취하면 두 초구의 쐐기합을 얻는다.

몫공간 함수 을 쌍대곱셈으로 삼으면, 은 H-쌍대군을 이룬다.

보다 일반적으로, 임의의 점을 가진 공간 에 대하여, 그 축소 현수 는 H-군을 이루며, 마찬가지로 그 고리 공간 는 H-쌍대군을 이룬다. 구체적으로, 위의 곱셈은 다음과 같다.

여기서

이다. 마찬가지로, 임의의 점을 가진 공간 에 대하여, 축소 현수 위의 쌍대곱셈은 다음과 같다.

여기서 분쇄곱이며 쐐기합이다. 초구의 경우 이므로, 초구의 H-쌍대군 구조는 현수의 쌍대군 구조의 특수한 경우이다.

또다른 예로, 에일렌베르크-매클레인 공간

을 생각하자. 위 호모토피 동치에 의하여, 모든 아벨 군 및 자연수 에 대하여 에일렌베르크-매클레인 공간 은 H-군을 이룬다. 마찬가지로, 피터슨 공간 의 경우

이 성립한다. 따라서, 유한 생성 아벨 군 의 경우 피터슨 공간 은 항상 H-쌍대군을 이룬다.

연산[편집]

호모토피 군들 위에는 다양한 대수적 구조들이 존재한다.

군 구조[편집]

일반적으로, 만약 가 H-쌍대군의 구조를 가지거나, 가 H-군의 구조를 가진다면 호모토피류 집합 의 구조를 가진다. 구체적으로, 만약 가 곱셈 에 대한 H-군이며, 라면, 위의 군 연산 의 호모토피류이다.

마찬가지로, 만약 가 쌍대곱셈 에 대한 H-쌍대군이며, 라면, 위의 군 연산 의 호모토피류이다.

특히, 축소 현수 고리 공간 는 서로 수반 함자를 이루므로

이며, 이 경우 의 H-군 구조를 통한 군 구조와 의 H-쌍대군 구조를 통한 군 구조는 서로 일치한다.

호모토피류 집합이 군을 이루는 특수한 경우는 다음과 같다.

정수 계수 호모토피 군[편집]

(정수 계수) 호모토피 군 의 경우 이라면 초구는 H-쌍대군을 이루므로 군의 구조를 가진다. (그러나 경로 연결 성분의 집합 가 H-군이 아니라면 일반적으로 군을 이루지 않는다.) 이 군 연산은 구체적으로 다음과 같다. 우선, 초구 하이퍼큐브 의 경계를 한 점으로 이어붙여 얻을 수 있다.

따라서, 연속 함수 의 호모토피류는 다음과 같은, 하이퍼큐브를 정의역으로 하는 함수들의 호모토피류로 나타낼 수 있다.

이러한 두 함수 가 주어졌을 때, 군의 이항 연산을 다음과 같이 정의하자.

이 연산은 호모토피 불변이며, 또한 의 구조를 만족한다는 사실을 보일 수 있다.

인 경우 (기본군) 이는 아벨 군이 아닐 수 있지만, 일 경우 모든 호모토피 군은 아벨 군이다.

계수를 가진 호모토피 군[편집]

유한 생성 아벨 군 에 대하여, 피터슨 공간 은 H-쌍대군을 이루므로, 계수를 가진 호모토피 군 은 자연스럽게 군의 구조를 가진다. 만약 추가로 라면 이는 아벨 군을 이룬다.[1]:§3

코호몰로지[편집]

아벨 군 계수의 축소 코호몰로지에일렌베르크-매클레인 공간 으로 표현된다.

에일렌베르크-매클레인 공간은 항상 H-아벨 군의 구조를 가지므로, 축소 코호몰로지는 항상 아벨 군을 이룬다.

프로이덴탈 현수 정리[편집]

프로이덴탈 현수 정리에 따르면, 만약

  • 가 유한 CW 복합체호모토피 유형을 가지며,
  • 의 호모토피 유형인 CW 복합체는 차원 이하의 세포만을 가지며,
  • -연결 공간이며,
  • 이라면,

다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

따라서, 이 경우 는 자연스럽게 군을 이룬다.

후레비치 준동형[편집]

호모토피 군은 특이 호몰로지 과 관련이 있다. 후레비치 정리(영어: Hurewicz theorem)에 의하여, 후레비치 준동형(영어: Hurewicz homomorphism)이라는 자연스러운 함수

가 존재하며, 일 경우 이는 군 준동형을 이룬다. 후레비치 준동형은 함자

사이의 자연 변환

을 이룬다. (만약 일 경우, 함자의 공역아벨 군의 범주 대신 집합의 범주 로 놓아야 한다.)

구성[편집]

후레비치 준동형은 구체적으로 다음과 같다. 점을 가진 공간 및 밑점을 보존하는 연속 함수

가 주어졌을 때, 기본류 에 대하여 특이 호몰로지류의

을 정의할 수 있다. 그렇다면, 호모토피류 를 이 밂으로 대응시킨다.

낮은 차수의 후레비치 준동형[편집]

일 경우, 경로 연결 성분집합이며, 경로 연결 성분들의 집합으로부터 생성되는 자유 아벨 군이다. 따라서, 0차 후레비치 사상은 집합에서 그 집합으로 생성되는 자유 아벨 군으로 가는 표준적인 포함 함수이다. 따라서 이 경우 후레비치 준동형은 단사 함수이다.

일 경우, 후레비치 준동형은 아벨화이다. 즉, 기본군 아벨화이다. 따라서 이 경우 후레비치 준동형은 전사 함수이다.

일 경우, 후레비치 준동형은 일반적으로 전사 함수도, 단사 함수도 아니다.

호모토피 긴 완전열[편집]

세르 올뭉치 에서, 밑점 을 고르자. 또한, 경로 연결 공간이라고 하자. 그렇다면, 호모토피 군들에 대한 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.

여기서 에 대한 사상들은 군 준동형이 아니라 단순히 함수이지만, 이는 여전히 완전열을 이룬다 (즉, 과 일치한다).

화이트헤드 괄호[편집]

경로 연결 공간 의 호모토피 군들 위에는 화이트헤드 괄호(영어: Whitehead bracket)라는 다음과 같은 연산이 존재한다.[3]

이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 연속 함수

가 주어졌다고 하자. 초구곱공간 쐐기합 -세포붙여 얻을 수 있다. 이 붙임 사상을

라고 하자. 만약 이라면 는 밑점을 보존하게 잡을 수 있다. 이를 쐐기합

합성하여

를 정의할 수 있다.

그렇다면, 의 화이트헤드 괄호는 다음과 같다.

(의 경우, 경로 연결 공간을 가정하였으므로 자명하게 0으로 놓는다.)

화이트헤드 괄호는 반대칭이며, -쌍선형이며, 야코비 항등식을 만족시킨다.[4] 그러나 화이트헤드 괄호는 일반적으로 교대 연산이 아니므로 (즉, 일 수 있다) 정수환 위의 리 대수를 이루지 않는다. 다만, 꼬임 부분군에 대하여 몫을 취하면 이는 정수환 위의 등급 리 대수를 이룬다. 이때, 의 등급을 로 잡아야 한다.

기본군의 작용[편집]

점을 가진 공간 기본군 은 고차 호모토피 군 () 위에 자연스럽게 작용하며, 따라서 고차 호모토피 군은 기본군가군을 이룬다.

구체적으로, 속의 두 점 및 이를 잇는 곡선

이 주어졌다고 하자. 구의 밑점의 포함 함수 는 닫힌 을 가진 포함 함수이므로 공변올뭉치(영어: cofibration)를 이룬다. 즉, 호모토피 확대 성질을 만족시킨다. 따라서, 사이의 호모토피 에서 사이의 호모토피로 유일하게 확대할 수 있다. 이에 따라, 는 서로 다른 밑점에 대한 호모토피 군 사이의 동형

을 정의하며, 이는 호모토피류에만 의존한다. 특히, 일 경우, 가 되며, 따라서 위에 작용한다.

일 경우, 기본군의 스스로 위의 작용켤레 작용 이다. (기본군의 위의 작용은 자명하다.)

기본군의 모든 차수 호모토피 군에 대한 작용이 자명한 점을 가진 공간단순 공간(영어: simple space)이라고 한다. 특히, 단순 공간의 기본군은 (켤레 작용이 자명하므로) 아벨 군이어야 한다.

성질[편집]

호모토피 군은 호모토피 불변량이다. 즉, 같은 호모토피 유형을 가진 두 점을 가진 공간의 호모토피 군은 서로 동형이다.

0차 호모토피 "군" (사실 집합) 에 의존하지 않으며, 경로 연결 성분들의 집합과 같다. 만약 리 군의 구조를 갖는다면, 는 자연스럽게 군의 구조를 갖는다.

1차 호모토피 군은 기본군이라고 부른다. 2차 이상의 호모토피 군은 항상 아벨 군이지만, 기본군은 일반적으로 아벨 군이 아니다.

호모토피 군은 일반적으로 원점에 의존하나, 만약 공간이 경로 연결 공간이라면 원점에 의존하지 않는다.

곱공간과 쐐기합[편집]

위상 공간 가 주어지면, 다음이 성립한다.

특이 호몰로지쐐기합과 같은 당김에 대하여 간단하지만, 에 대해서는 복잡하다. 반면 호모토피 군은 밂에 대하여 간단하지만 당김에 대하여 복잡하다. 특히, 공간들의 쐐기합의 호모토피 군은 일반적으로 복잡하다. 다만, 기본군의 경우, 쐐기합의 기본군은 군의 자유곱이다. 초구쐐기합의 기본군은 힐튼 정리(영어: Hilton’s theorem)에 의하여 주어진다.[5]

보다 일반적으로, 존 밀너는 힐튼 정리를 다음과 같이 힐튼-밀너 정리(영어: Hilton–Milnor theorem)로 일반화하였다.[6] 이에 따르면, 연결 CW 복합체 이 주어졌을 때, 그 쐐기합 현수 고리 공간

들의 분쇄곱고리 공간들의 특정한 무한 곱공간호모토피 동치이다.

리 군[편집]

연결 매끄러운 다양체 리 군의 구조를 줄 수 있다면, 그 호모토피 군은 항상 다음과 같은 성질을 보인다.

또한, 의 짝수 차수 호모토피 군은 모두 꼬임 성분밖에 없다. (즉, 짝수 차수 유리수 계수 호모토피 군은 0차원이다.) 이는 유리수 호모토피 이론을 사용하여 보일 수 있다.

리 군 의 극대 콤팩트 부분군 가 주어졌을 때, 로의 변형 수축을 가지며 (이와사와 겐키치 증명), 따라서 서로 호모토피 동치이다. (리 군은 여러 개의 극대 콤팩트 부분군을 가질 수 있지만, 이들은 모두 서로 호모토피 동치이다.) 따라서, 리 군의 호모토피 군의 계산은 콤팩트 리 군의 경우로 귀결된다.

콤팩트 리 군에 대하여, 이와 유리수 호모토피 동치초구들의 곱공간이 존재한다. 즉, 계수 의 콤팩트 리 군 에 대하여, 어떤 연속 함수

가 존재하여, 는 유리수 계수 호모토피 군의 동형을 유도한다.

따라서, 리 군의 호모토피 군의 계산은 초구의 호모토피 군의 계산으로 귀결된다. 후자는 일반적으로 매우 어렵다.

[편집]

기본군자이페르트-판 캄펀 정리를 사용하여 쉽게 계산할 수 있는 반면, 고차 호모토피 군의 계산은 (심지어 초구와 같은 간단한 경우에도) 일반적으로 매우 어렵다.

한원소 공간[편집]

한원소 공간 의 경우, 모든 호모토피 군은 자명군이다. (즉, 0차 호모토피 군은 한원소 집합이다.)

보다 일반적으로, 비이산 공간 에서 임의의 점을 밑점으로 잡자. 비이산 공간을 공역으로 하는 모든 함수는 연속 함수이며, 따라서 비이산 공간을 공역으로 하는, 같은 정의역을 갖는 모든 함수들은 같은 호모토피류에 속한다. 따라서, 비이산 공간의 호모토피 군은 모두 자명군이다.

이산 공간[편집]

이산 공간 에서 임의의 점 을 밑점으로 잡자. 이산 공간을 공역으로 하는 연속 함수국소 상수 함수 밖에 없다. 하이퍼큐브 연결 공간이므로, 이산 공간 위의 호모토피 군 은 다음과 같다.

즉, 와 표준적인 일대일 대응을 가지며, 고차 호모토피 군은 모두 자명군이다.

원환면[편집]

원환면 의 호모토피 군은 다음과 같다.

(자명군) ()

이와 같이, 2차 이상 호모토피 군이 자명한 공간을 비구면 공간(영어: aspherical space)이라고 한다.

초구[편집]

초구 의 호모토피 군들은 매우 복잡하며, 심지어 2차원 의 경우도 아직 완전히 알려져 있지 않다.

π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9 π10 π11 π12 π13 π14 π15
S0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S2 0 2 2 12 2 2 3 15 2 22 12×ℤ2 84×ℤ22 22
S3 0 0 2 2 12 2 2 3 15 2 22 12×ℤ2 84×ℤ22 22
S4 0 0 0 2 2 ℤ×ℤ12 22 22 24×ℤ3 15 2 23 120×ℤ12×ℤ2 84×ℤ25
S5 0 0 0 0 2 2 24 2 2 2 30 2 23 72×ℤ2
S6 0 0 0 0 0 2 2 24 0 2 60 24×ℤ2 23
S7 0 0 0 0 0 0 2 2 24 0 0 2 120 23
S8 0 0 0 0 0 0 0 2 2 24 0 0 2 ℤ×ℤ120

리 군[편집]

일반적으로, 연결 리 군 의 호모토피 군은 다음과 같다.

흔히 쓰이는 리 군의 호모토피 군은 다음과 같다. 굵은 선 아래는 보트 주기성에 의하여 일정하지만, 굵은 선 위에는 불규칙하다.

π0 π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9 π10 π11 π12
U(1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
U(2) 0 0 2 2 12 2 2 3 15 2 (ℤ2)2
U(3) 0 0 0 6
U(4) 0 0 0 0
U(5) 0 0 0 0 0
U(6) 0 0 0 0 0 0
π0 π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9
O(1) 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
O(2) 2 0 0 0 0 0 0 0 0
O(3) 2 2 0 2 2 12 2 2 3
O(4) 2 2 0 2 (ℤ2)2 (ℤ2)2 (ℤ12)2 (ℤ2)2 (ℤ2)2 (ℤ3)2
O(5) 2 2 0 2 2 0 0 0
O(6) 2 2 0 0 0 24 2
O(7) 2 2 0 0 0
O(8) 2 2 0 0 0 0
O(9) 2 2 0 0 0 0
O(10) 2 2 0 0 0 0 2
O(11) 2 2 0 0 0 0 2 2
π0 π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9 π10 π11 π12 π13
Sp(1) 0 0 0 2 2 12 2 2 3 15 2 (ℤ2)2
Sp(2) 0 0 0 2 2 0 0 0 120 2 (ℤ2)2
Sp(3) 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2

역사[편집]

1차 호모토피 군인 기본군앙리 푸앵카레가 1895년에 정의하였다.[7]

에두아르트 체흐는 1932년 취리히 국제 수학자 대회에서 최초로 고차 호모토피 군을 정의하였으나,[8] 고차 호모토피 군이 기본군과 달리 모두 아벨 군이라는 사실이 밝혀지면서 체흐는 이 개념의 연구를 포기하였다.

이후 폴란드비톨트 후레비치(폴란드어: Witold Hurewicz)가 1935년에 고차 호모토피 군의 개념을 재발견하였고, 후레비치 준동형을 정의하였다.[9][10][11][12] 1941년에 존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드는 호모토피 군 위의 화이트헤드 괄호를 정의하였다.[3]

아벨 군 계수를 가진 호모토피 군은 프랭클린 폴 피터슨(영어: Franklin Paul Peterson, 1930~2000)이 1956년 박사 학위 논문에서 도입하였다.[13]

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Neisendorfer, Joseph A. (2010년 12월). “Homotopy groups with coefficients” (PDF). 《Journal of Fixed Point Theory and Applications》 (영어) 8 (2): 247–338. doi:10.1007/s11784-010-0020-1. ISSN 1661-7738. Zbl 1205.55001. 
  2. Weibel, Charles A. (2013년 5월 18일). 《The K-book: an introduction to algebraic K-theory》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 145. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9132-2. Zbl 1273.19001. 
  3. Whitehead, J. H. C. (1941년 4월). “On adding relations to homotopy groups”. 《Annals of Mathematics》. 2 (영어) 42 (2): 409–428. doi:10.2307/1968907. JSTOR 1968907. 
  4. Uehara, Hiroshi; Massey, William S. (1957). 〈The Jacobi identity for Whitehead products〉. 《Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz》 (영어). Princeton University Press. 361–377쪽. MR 0091473. 
  5. Hilton, Peter John (1955). “On the homotopy groups of the union of spheres”. 《Journal of the London Mathematical Society》 (영어) 30 (2): 154–172. doi:10.1112/jlms/s1-30.2.154. ISSN 0024-6107. MR 0068218. 
  6. Milnor, John Willard (1972) [1956]. 〈On the construction 〉. Adams, John Frank. 《Algebraic topology—a student’s guide》. Cambridge University Press. 118–136쪽. doi:10.1017/CBO9780511662584.011. ISBN 978-0-521-08076-7. MR 0445484.  |chapter=에 지움 문자가 있음(위치 21) (도움말)
  7. Poincaré, Henri (1895). “Analysis situs”. 《Journal de l'École Polytechnique (serie 2)》 (프랑스어) 1: 1–123. 
  8. Čech, E. (1932). 〈Höherdimensionale Homotopiegruppen〉. 《Verhandlungen des Internationalen Mathematiker-Kongresses: Zürich 1932. Zweiter Band》 (독일어). O. Füssli. 203쪽. JFM 58.0646.06. 
  9. Hurewicz, Witold (1935). “Beiträge zur Topologie der Deformationen I. Höherdimensionale Homotopiegruppen”. 《Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam》 (독일어) 38: 112–119. JFM 61.0618.01. Zbl 0010.37801. 
  10. Hurewicz, Witold (1935). “Beiträge zur Topologie der Deformationen II. Homotopie- und Homologiegruppen”. 《Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam》 (독일어) 38: 521–528. JFM 61.0619.01. Zbl 0011.37101. 
  11. Hurewicz, Witold (1936). “Beiträge zur Topologie der Deformationen III. Klassen und Homologietypen von Abbildungen”. 《Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam》 (독일어) 39: 117–126. JFM 62.0678.02. Zbl 0013.22903. 
  12. Hurewicz, Witold (1936). “Beiträge zur Topologie der Deformationen IV. Asphärische Räume”. 《Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam》 (독일어) 39: 215–224. Zbl 0013.28303. 
  13. Peterson, Franklin Paul (1956). “Generalized cohomotopy groups”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 78: 259–281. doi:10.2307/2372515. JSTOR 2372515. 

바깥 고리[편집]