호모토피 군

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대수적 위상수학에서, 호모토피 군(homotopy群, 영어: homotopy group)은 위상 공간의 위상적 불변량의 하나로, 공간 위에 존재하는 고차원 고리들의 호모토피 불변 성질을 나타낸다. 1차 호모토피 군은 기본군이라고도 부른다. 기호는 \pi_n(X).

정의[편집]

X가 위상 공간이고, 원점 b\in X이 주어졌다고 하자. 연속 함수 [0,1]^n\to X하이퍼큐브 [0,1]^n의 경계를 원점 b로 대응시킨다고 하자. 그렇다면 이러한 연속 함수들의 호모토피류를 잡을 수 있다. n호모토피 군 \pi_n(X)은 이러한 함수들의 호모토피류들의 집합이다. n=0일 때는 이는 사실 군이 아니라 단순한 집합이지만, n\ge1일 경우 \pi_n(X) 위에는 자연스러운 구조가 존재하며, 다음과 같다. f,g\colon{[0,1]}^n\to X라면,

fg\colon(t_1,t_2,\dots,t_n)\mapsto\begin{cases}
f(2t_1,t_2,\dots,t_n)&0\le t_1\le1/2\\
g(2t_1-1,t_2,\dots,t_n)&1/2\le t_1\le1.
\end{cases}

이 연산은 호모토피 불변이며, 또한 의 구조를 만족한다는 사실을 보일 수 있다.

성질[편집]

1차 호모토피 군을 기본군이라고 부른다. 2차 이상의 호모토피 군은 항상 아벨 군이다.

호모토피 군은 호몰로지 군 H_n과 관련이 있다. 후레비치 정리(Hurewicz theorem)에 의하여, 자연스러운 군 준동형 \pi_n\to H_n이 존재한다. n=1인 경우, 이 후레비치 준동형은 단순히 아벨화(abelianization)이다.

호모토피 군은 일반적으로 원점에 의존하나, 만약 공간이 경로 연결 공간이라면 원점에 의존하지 않는다.

위상 공간 XY가 주어지면, 다음이 성립한다.

\pi_k(X\times Y)=\pi_k(X)\times\pi_k(Y)

호모토피 긴 완전열[편집]

세르 올뭉치 F\hookrightarrow E\twoheadrightarrow B에서, 밑점 \bullet\in B을 고르자. 또한, B경로 연결 공간이라고 하자. 그렇다면, 호모토피 군들에 대한 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.

\cdots\to\pi_n(F)\to\pi_n(E)\to\pi_n(B)\to\pi_{n-1}(F)\to\cdots\to\pi_0(E)\to0

여기서 \pi_0에 대한 사상들은 군 준동형이 아니라 단순히 함수이지만, 이는 여전히 완전열을 이룬다 (즉, 과 일치한다).

[편집]

원환면[편집]

원환면 T^k의 호모토피 군은 다음과 같다.

\pi_1(T^k)=\mathbb Z^n
\pi_n(T^k)=1 (자명군) (n>1)

이와 같이, 2차 이상 호모토피 군이 자명한 공간을 비구면 공간(aspherical space)이라고 한다.

초구[편집]

초구 S^k의 호모토피 군들은 매우 복잡하며, 심지어 2차원 의 경우도 아직 완전히 알려져 있지 않다.

π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9 π10 π11 π12 π13 π14 π15
S0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S2 0 2 2 12 2 2 3 15 2 22 12×ℤ2 84×ℤ22 22
S3 0 0 2 2 12 2 2 3 15 2 22 12×ℤ2 84×ℤ22 22
S4 0 0 0 2 2 ℤ×ℤ12 22 22 24×ℤ3 15 2 23 120×ℤ12×ℤ2 84×ℤ25
S5 0 0 0 0 2 2 24 2 2 2 30 2 23 72×ℤ2
S6 0 0 0 0 0 2 2 24 0 2 60 24×ℤ2 23
S7 0 0 0 0 0 0 2 2 24 0 0 2 120 23
S8 0 0 0 0 0 0 0 2 2 24 0 0 2 ℤ×ℤ120

리 군[편집]

일반적으로, 연결 리 군 G의 호모토피 군은 다음과 같다.

흔히 쓰이는 리 군의 호모토피 군은 다음과 같다. 굵은 선 아래는 보트 주기성에 의하여 일정하지만, 굵은 선 위에는 불규칙하다.

π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9 π10 π11 π12
U(1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
U(2) 0 0 2 2 12 2 2 3 15 2 (ℤ2)2
U(3) 0 0 0 6
U(4) 0 0 0 0
U(5) 0 0 0 0 0
U(6) 0 0 0 0 0 0
π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9
SO(2) 0 0 0 0 0 0 0 0
SO(3) 2 0 2 2 12 2 2 3
SO(4) 2 0 2 (ℤ2)2 (ℤ2)2 (ℤ12)2 (ℤ2)2 (ℤ2)2 (ℤ3)2
SO(5) 2 0 2 2 0 0 0
SO(6) 2 0 0 0 24 2
π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9 π10 π11 π12 π13
Sp(1) 0 0 2 2 12 2 2 3 15 2 (ℤ2)2
Sp(2) 0 0 2 2 0 0 0 120 2 (ℤ2)2
Sp(3) 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]