사슬 복합체

호몰로지 대수학에서, 사슬 복합체(-複合體, 영어: chain complex)는 일련의 멱영 사상들을 갖춘, 아벨 범주의 대상들의 열이다. 이를 사용하여 호몰로지 대수학 및 호몰로지 · 코호몰로지의 개념을 추상적으로 정의할 수 있다.

정의

아벨 범주 ${\mathcal {A}}$가 주어졌다고 하자. (예를 들어, 아벨 군이나 가군, 또는 아벨 군 값을 갖는 층 등이 있다.)

${\mathcal {A}}$ 속의 사슬 복합체 $(C_{\bullet },\partial _{\bullet })$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 각 정수 $i\in \mathbb {Z}$에 대하여, ${\mathcal {A}}$의 대상 $C_{i}\in {\mathcal {A}}$
• 각 정수 $i\in \mathbb {Z}$에 대하여, ${\mathcal {A}}$의 사상 $\partial _{i}\colon C_{i}\to C_{i-1}$

  $\cdots \to C_{i+1}{\xrightarrow {\partial _{i+1}}}C_{i}{\xrightarrow {\partial _{i}}}C_{i-1}{\xrightarrow {\partial _{i-1}}}C_{i-2}\to \cdots$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 모든 정수 $i\in \mathbb {Z}$에 대하여, $\partial _{i-1}\circ \partial _{i}=0$

이 경우, 사상 $\partial _{\bullet }$은 경계 사상(영어: boundary map)라고 하고, $C_{i}$의 원소는 i차 사슬(영어: i-chain)이라고 한다. $\partial _{i}\alpha =0$인 i차 사슬 $\alpha \in C_{i}$을 순환(영어: cycle 사이클^[*])이라고 한다.

공사슬 복합체(영어: cochain complex}) $(C^{\bullet },d^{\bullet })$는 유사하지만, 화살표의 방향이 반대이다.

$\cdots \to C^{i-2}{\xrightarrow {d_{C}^{i-2}}}C^{i-1}{\xrightarrow {d_{C}^{i-1}}}C^{i}{\xrightarrow {d_{C}^{i}}}C^{i+1}\to \cdots$

이 경우, 사상 $d^{\bullet }$은 공경계 사상(영어: coboundary map)라고 하고, $C^{i}$의 원소는 i차 공사슬(영어: i-cochain)이라고 한다. $d^{i}\alpha =0$인 i차 공사슬 $\alpha \in C^{i}$을 쌍대순환(영어: cocycle 코사이클^[*])이라고 한다.

${\mathcal {A}}$ 속의 사슬 복합체들과 이들 사이의 사슬 사상들의 범주는 $\operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})$라고 한다.

사슬 사상

아벨 범주 ${\mathcal {A}}$ 속의 두 사슬 복합체 $(C_{\bullet },\partial _{\bullet }^{C})$, $(D_{\bullet },\partial _{\bullet }^{D})$ 사이의 사슬 사상(영어: chain map) $f_{\bullet }\colon C_{\bullet }\to D_{\bullet }$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 정수 $i\in \mathbb {Z}$에 대하여, ${\mathcal {A}}$ 속의 사상 $f_{i}\colon C_{i}\to D_{i}$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 각 정수 $i\in \mathbb {Z}$에 대하여, $\partial _{i}^{D}\circ f_{i}=f_{i-1}\circ \partial _{i}^{C}$. 즉, 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.

  ${\begin{matrix}\cdots \to &C_{i+1}&{\overset {\partial _{i+1}}{\to }}&C_{i}&{\overset {\partial _{n}}{\to }}&C_{i-1}&\to \cdots \\&\downarrow {\scriptstyle f_{i+1}}&&\downarrow {\scriptstyle f_{i}}&&\downarrow \scriptstyle f_{i-1}\\\cdots \to &D_{i+1}&{\underset {\partial _{i+1}}{\to }}&D_{i}&{\underset {\partial _{i}}{\to }}&D_{i-1}&\to \cdots \\\end{matrix}}$

마찬가지로, 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상 또한 같은 방식으로 정의된다. 아벨 범주 ${\mathcal {A}}$ 속의 두 공사슬 복합체 $(C^{\bullet },d_{C}^{\bullet })$, $(D^{\bullet },d_{D}^{\bullet })$ 사이의 공사슬 사상(영어: cochain map) $f^{\bullet }\colon C^{\bullet }\to D^{\bullet }$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 정수 $i\in \mathbb {Z}$에 대하여, ${\mathcal {A}}$ 속의 사상 $f^{i}\colon C^{i}\to D^{i}$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 각 정수 $i\in \mathbb {Z}$에 대하여, $\partial _{i}^{D}\circ f^{i}=f^{i+1}\circ d_{C}^{i}$. 즉, 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.

  ${\begin{matrix}\cdots \to &C^{i-1}&{\overset {d^{i-1}}{\to }}&C^{i}&{\overset {d^{i}}{\to }}&C^{i+1}&\to \cdots \\&\downarrow {\scriptstyle f^{i-1}}&&\downarrow {\scriptstyle f^{i}}&&\downarrow \scriptstyle f^{i+1}\\\cdots \to &D^{i-1}&{\underset {d^{i-1}}{\to }}&D^{i}&{\underset {d^{i}}{\to }}&D^{i+1}&\to \cdots \\\end{matrix}}$

사슬 호모토피

아벨 범주 ${\mathcal {A}}$ 속의 두 사슬 복합체 $C$, $D$ 사이의 두 사슬 사상 $f,g\colon C\to D$ 사이의 사슬 호모토피(영어: chain homotopy)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 $i\in \mathbb {Z}$에 대하여, ${\mathcal {A}}$ 속의 사상 $h_{i}\colon C_{i}\to D_{i+1}$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• $f_{i}-g_{i}=\partial _{i}^{D}\circ h_{i}+h_{i-1}\circ \partial _{i}^{C}$

같은 정의역과 공역을 갖는 두 사슬 사상 사이에 사슬 호모토피가 존재한다면, 이를 서로 호모토픽(영어: homotopic)한 사슬 사상이라고 한다. 호모토픽 관계는 동치 관계이다. 모든 원소를 0으로 대응시키는 상수 사슬 사상 $0\in \hom _{\operatorname {Ch} ({\mathcal {A}})}(C,D)$과 호모토픽한 사슬 사상은 널호모토픽(영어: null-homotopic) 사슬 사상이라고 한다.

마찬가지로, 아벨 범주 ${\mathcal {A}}$ 속의 두 공사슬 복합체 $C^{\bullet }$, $D^{\bullet }$ 사이의 두 사슬 사상 $f,g\colon C^{\bullet }\to D^{\bullet }$ 사이의 공사슬 호모토피(영어: cochain homotopy)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 $i\in \mathbb {Z}$에 대하여, ${\mathcal {A}}$ 속의 사상 $h^{i}\colon C^{i}\to D^{i-1}$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• $f^{i}-g^{i}=d_{D}^{i-1}\circ h^{i}+h^{i+1}\circ d_{C}^{i}$

같은 정의역과 공역을 갖는 두 (공)사슬 사상 사이에 (공)사슬 호모토피가 존재한다면, 이를 서로 호모토픽(영어: homotopic)한 (공)사슬 사상이라고 한다. 호모토픽 관계는 동치 관계이다. 모든 원소를 0으로 대응시키는 상수 (공)사슬 사상 $0\in \hom _{\operatorname {Ch} ({\mathcal {A}})}(C,D)$과 호모토픽한 (공)사슬 사상은 널호모토픽(영어: null-homotopic) (공)사슬 사상이라고 한다.

호모토픽 관계는 사슬 사상 집합의 아벨 군 구조와 호환되며, 특히 널호모토픽한 사슬 사상들의 부분 집합은 부분군을 이룬다. 두 사슬 사상 $f,g\colon C\to D$이 서로 호모토픽하다는 것은 두 사슬 사상의 차 $f-g$가 널호모토픽하다는 것과 동치이다. 사슬 사상 집합의 호모토픽 관계에 대한 동치류들은 모든 사슬 사상들로 구성된 아벨 군의, 널호모토픽 사슬 사상으로 구성된 부분군에 대한 몫군이다.

사슬 복합체를 대상으로 하고, 사슬 사상의 호모토피류를 사상으로 하는 범주를 사슬 복합체 호모토피 범주(영어: homotopy category of chain complexes) $K({\mathcal {A}})$라고 한다. 이 범주에서 약한 동치를 국소화하면 유도 범주 $\operatorname {D} ({\mathcal {A}})$를 얻는다.

유사동형

두 사슬 복합체 $C_{\bullet }$, $D_{\bullet }$ 사이의 유사동형(類似同型, 영어: quasi-isomorphism)은 다음과 같은 사슬 사상 $q\colon C\to D$이다.

• $q$로부터 유도되는 호몰로지 사상 $q_{*}\colon \operatorname {H} _{\bullet }(C)\to \operatorname {H} _{\bullet }(D)$는 각 성분마다 동형 사상이다.

성질

사슬 복합체의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 사슬 복합체의 호모토피 범주 및 유도 범주는 가법 범주이지만 일반적으로 아벨 범주가 아니다.

삼각 분할 범주 구조

사슬 복합체의 범주 $\operatorname {Ch} ({\mathcal {A}})$는 자연스럽게 삼각 분할 범주를 이룬다.

사슬 복합체 $C\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})$의 현수(영어: suspension) $\Sigma C\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})$를 다음과 같이 정의하자.

$(\Sigma C)_{\bullet }=C_{\bullet -1}$

$\partial _{\bullet }^{\Sigma C}=-\partial _{\bullet -1}^{C}$

사슬 사상 $f\colon C\to D$의 사상뿔(영어: mapping cone) $\operatorname {cone} f\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})$을 다음과 같이 정의하자.

$(\operatorname {cone} f)_{\bullet }=(\Sigma C\oplus D)_{\bullet }=C_{\bullet -1}\oplus D_{\bullet }$

$\partial ^{\operatorname {cone} f}={\begin{pmatrix}\partial ^{C}&0\\\Sigma f&\partial ^{B}\end{pmatrix}}$

여기서, 사상뿔의 경계 사상은 열벡터 $\textstyle {\binom {c}{d}}\;(c\in \Sigma C_{\bullet }=C_{\bullet -1},\;d\in D_{\bullet })$ 위에 작용하는 2×2 행렬이다.

그렇다면, 현수를 자기 동치로, 사상뿔을 특별 삼각형으로 삼으면 $\operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})$는 삼각 분할 범주를 이룬다.

모형 범주 구조

사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 ${\mathcal {A}}$ 위의, 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 $\operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})$에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.

약한 동치	사슬 복합체의 유사동형
올뭉치	양의 차수에서 각 성분이 전사 사상인 사슬 사상
쌍대올뭉치	각 성분이 단사 사상이며, 각 성분의 쌍대핵이 사영 대상인 사슬 사상
올대상	모든 사슬 복합체
올대상 분해	(원래 사슬 복합체와 같음)
쌍대올대상	모든 성분이 사영 대상인 사슬 복합체
쌍대올대상 분해	사영 분해

마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 ${\mathcal {A}}$ 위의, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 $\operatorname {Ch} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})$에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.

약한 동치	공사슬 복합체의 유사동형
올뭉치	각 성분이 전사 사상이며, 각 성분의 핵이 단사 대상인 공사슬 사상
쌍대올뭉치	양의 차수에서 각 성분이 단사 사상인 공사슬 사상
올대상	모든 성분이 단사 대상인 공사슬 복합체
올대상 분해	단사 분해
쌍대올대상	모든 공사슬 복합체
쌍대올대상 분해	(원래 사슬 복합체와 같음)

돌트-칸 대응

돌트-칸 대응(Dold-Kan對應, 영어: Dold–Kan correspondence)에 따르면, 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 $\operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})$는 단체 대상의 범주 ${\mathcal {A}}^{\triangle ^{\operatorname {op} }}$와 동치이며, 또한 이는 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다.

$\operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})\simeq {\mathcal {A}}^{\triangle ^{\operatorname {op} }}$

마찬가지로, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 $\operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})$는 쌍대 단체 대상의 범주 ${\mathcal {A}}^{\triangle }$와 동치이며, 또한 이는 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다.

$\operatorname {Ch} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})\simeq {\mathcal {A}}^{\triangle }$

역사

(공)사슬 복합체의 개념은 대수적 위상수학에서 호몰로지·코호몰로지를 정의하기 위하여 개발되었다. 대수적 위상수학에서는 위상 공간의 특이 호몰로지를 정의하기 위하여 특이 사슬 복합체라는 사슬 복합체를 정의한다. 이후 사슬 복합체의 개념은 층 코호몰로지 · 군 코호몰로지 등 다른 코호몰로지 이론의 발달로 더 중요해졌으며, 호몰로지 대수학의 발달로 추상적으로 정의되었다.

돌트-칸 대응성은 알브레히트 돌트와 다니얼 칸이 도입하였다.

참고 문헌

• Bott, Raoul; Tu, Loring Wuliang (1982). 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 82. Springer-Verlag. ISBN 978-1-4419-2815-3. ISSN 0072-5285. MR 658304. Zbl 0496.55001. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. 

바깥 고리

• “Chain”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Cochain”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Complex”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Chain complex”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cochain complex”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Boundary operator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Coboundary operator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Chain homomorphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Chain equivalence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Chain homotopy”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Chain complex”. 《nLab》 (영어). 
• “Complex”. 《nLab》 (영어). 
• “Chain map”. 《nLab》 (영어). 
• “Chain homotopy”. 《nLab》 (영어). 
• “Suspension of a chain complex”. 《nLab》 (영어). 
• “Chain homology and cohomology”. 《nLab》 (영어). 
• “Category of chain complexes”. 《nLab》 (영어). 
• “Homotopy category of chain complexes”. 《nLab》 (영어). 
• “Model structure on chain complexes”. 《nLab》 (영어). 
• “Dold-Kan correspondence”. 《nLab》 (영어). 
• “Motivating the category of chain complexes” (영어). Math Overflow. 

같이 보기

• 호몰로지
• 코호몰로지
• 유도 범주