사슬 복합체
호몰로지 대수학에서, 사슬 복합체(-複合體, 영어: chain complex)는 일련의 멱영 사상들을 갖춘, 아벨 범주의 대상들의 열이다. 이를 사용하여 호몰로지 대수학 및 호몰로지 · 코호몰로지의 개념을 추상적으로 정의할 수 있다.
정의[편집]
아벨 범주 가 주어졌다고 하자. (예를 들어, 아벨 군이나 가군, 또는 아벨 군 값을 갖는 층 등이 있다.)
속의 사슬 복합체 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 각 정수 에 대하여, 의 대상
- 각 정수 에 대하여, 의 사상
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- 모든 정수 에 대하여,
이 경우, 사상 은 경계 사상(境界寫像, 영어: boundary map)라고 하고, 의 원소는 i차 사슬(영어: i-chain)이라고 한다. 인 i차 사슬 을 차 순환(次循環, 영어: -cycle 사이클[*])이라고 한다.
공사슬 복합체(共사슬複合體, 영어: cochain complex}) 는 유사하지만, 첨자의 위치와 화살표의 방향이 반대이다.
이 경우, 사상 은 공경계 사상(共境界寫像, 영어: coboundary map)라고 하고, 의 원소는 i차 공사슬(次共사슬, 영어: i-cochain)이라고 한다. 인 i차 공사슬 을 차 공순환(次共循環, 영어: -cocycle 코사이클[*])이라고 한다.
속의 사슬 복합체들과 이들 사이의 사슬 사상들의 범주는 라고 한다. 마찬가지로, 공사슬 복합체들과 공사슬 사상들의 범주는 라고 한다. 물론, 이 둘은 (차수를 로 대응시킬 때) 같은 범주를 표기하는 서로 다른 두 방법일 뿐이지만, 용도에 따라 두 표기법 가운데 하나가 더 선호되는 경우가 많다.
사슬 사상[편집]
아벨 범주 속의 두 사슬 복합체 , 사이의 사슬 사상(사슬寫像, 영어: chain map) 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 각 정수 에 대하여, 속의 사상
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- 각 정수 에 대하여, . 즉, 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.
마찬가지로, 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상 또한 같은 방식으로 정의된다. 아벨 범주 속의 두 공사슬 복합체 , 사이의 공사슬 사상(영어: cochain map) 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 각 정수 에 대하여, 속의 사상
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- 각 정수 에 대하여, . 즉, 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.
사슬 복합체와 사슬 사상의 범주는 또는 로 표기된다. 이는 사슬을 뜻하는 영어: chain 체인[*] 또는 복합체를 뜻하는 독일어: Komplex 콤플렉스[*]를 딴 것이다.
사슬 호모토피[편집]
임의의 두 사슬 복합체 에 대하여, 그 사이의 사슬 사상의 집합
위에는 사슬 호모토피라는 동치 관계가 존재한다. 사슬 사상의 호모토피류는 유도 범주의 사상을 이룬다.
유계 사슬 복합체[편집]
의 다음과 같은 부분 범주들이 흔히 사용된다.
- 는 음의 차수 성분들이 모두 0인 사슬 복합체들의 범주이다.
- 마찬가지로, 는 음의 차수 성분들이 모두 0인 공사슬 복합체들의 범주이다. (이는 양의 차수 성분들이 모두 0인 사슬 복합체로 여겨질 수 있다.)
- 는 유계 사슬 복합체(有界사슬複合體, 영어: bounded chain complex), 즉 유한 개의 차수를 제외한 나머지 성분들이 모두 0인 사슬 복합체들의 범주이다.
연산[편집]
현수[편집]
아벨 범주 속의 사슬 복합체
와 정수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 차 현수(次懸垂, 영어: th suspension) 는 다음과 같은 사슬 복합체이다.
즉, 각 성분의 차수를 만큼 추가하고, 만약 가 홀수라면 경계 사상에 음부호를 붙인 것이다.
직합 · 핵 · 여핵 · 상 · 여상[편집]
사슬 복합체의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 따라서, 아벨 범주에서 정의되는 모든 연산들이 정의될 수 있다.
예를 들어, 두 사슬 복합체 의 직합 은 다음과 같다.
- (
마찬가지로, 사슬 복합체 사상
의 핵
및 여핵
및 상
및 여상
이 성분별로 정의된다.
호몰로지[편집]
사슬 복합체 의 경우, 호몰로지
를 정의할 수 있다. 이 경우, 모든 경계 사상을 0으로 잡으면 이는 사슬 복합체를 이룬다. 만약 사슬 복합체 대신 공사슬 복합체를 사용하는 경우, 이 연산은 코호몰로지라고 불린다.
두 사슬 복합체 , 사이의 유사동형(類似同型, 영어: quasi-isomorphism)은 다음과 같은 사슬 사상 이다.
서로 동형인 두 사슬 복합체는 유사동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
텐서곱과 내적 사상 대상[편집]
가환환 위의 결합 대수 위의 -쌍가군들의 아벨 범주 를 생각하자. 이 속에서, 두 사슬 복합체
가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 각 성분별 텐서곱을 통해, 다음과 같은 이중 사슬 복합체 를 정의할 수 있다.
이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체 를 와 의 텐서곱이라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
이 텐서곱의 항등원은 다음과 같은, 하나만의 성분을 갖는 사슬 복합체이다.
그렇다면, 은 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 마찬가지로,
역시 각각 대칭 모노이드 범주를 이룬다.
특히, 속의 모노이드 대상을 미분 등급 대수라고 한다.
또한, 의 두 사슬 복합체 , 에 대하여, 다음과 같은 내적 사상 대상(內的寫像對象, 영어: internal homomorphism-object)
을 정의할 수 있다.
이에 따라, 쌍가군 범주 위의 사슬 복합체 범주 는 닫힌 모노이드 범주를 이룬다.
유도 범주[편집]
사슬 복합체의 범주 에서, 유사동형들을 동형 사상이 되게 국소화하면, 유도 범주 를 얻으며, 표준적 함자
가 존재한다.
성질[편집]
사슬 복합체의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 사슬 복합체의 호모토피 범주 및 유도 범주는 가법 범주이지만 일반적으로 아벨 범주가 아니다.
모형 범주 구조[편집]
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 위의, 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.
약한 동치 | 사슬 복합체의 유사동형 |
---|---|
올뭉치 | 양의 차수에서 각 성분이 전사 사상인 사슬 사상 |
쌍대올뭉치 | 각 성분이 단사 사상이며, 각 성분의 여핵이 사영 대상인 사슬 사상 |
올대상 | 모든 사슬 복합체 |
올대상 분해 | (원래 사슬 복합체와 같음) |
쌍대올대상 | 모든 성분이 사영 대상인 사슬 복합체 |
쌍대올대상 분해 | 사영 분해 |
마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 위의, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.
약한 동치 | 공사슬 복합체의 유사동형 |
---|---|
올뭉치 | 각 성분이 전사 사상이며, 각 성분의 핵이 단사 대상인 공사슬 사상 |
쌍대올뭉치 | 양의 차수에서 각 성분이 단사 사상인 공사슬 사상 |
올대상 | 모든 성분이 단사 대상인 공사슬 복합체 |
올대상 분해 | 단사 분해 |
쌍대올대상 | 모든 공사슬 복합체 |
쌍대올대상 분해 | (원래 사슬 복합체와 같음) |
이 모형 범주 구조에 대한 호모토피 범주는 유도 범주이다.
예[편집]
돌트-칸 대응[편집]
아벨 범주 위의 단체 대상 에 대하여, 항상 정규화 사슬 복합체 라는 사슬 복합체를 대응시킬 수 있다. 이는 함자를 이루며, 사실 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 와 단체 대상의 범주 사이의 동치 및 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다.
이를 돌트-칸 대응이라고 한다.
마찬가지로, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 는 쌍대 단체 대상의 범주 와 동치이며, 또한 이는 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다.
이중 사슬 복합체[편집]
아벨 범주 위의 사슬 복합체의 범주 역시 아벨 범주이므로, 그 위의 사슬 복합체를 취할 수 있다. 이를 이중 사슬 복합체(二重사슬複合體, 영어: double chain complex, bicomplex)라고 한다.
역사[편집]
(공)사슬 복합체의 개념은 대수적 위상수학에서 호몰로지·코호몰로지를 정의하기 위하여 개발되었다. 대수적 위상수학에서는 위상 공간의 특이 호몰로지를 정의하기 위하여 특이 사슬 복합체라는 사슬 복합체를 정의한다. 이후 사슬 복합체의 개념은 층 코호몰로지 · 군 코호몰로지 등 다른 코호몰로지 이론의 발달로 더 중요해졌으며, 호몰로지 대수학의 발달로 추상적으로 정의되었다.
참고 문헌[편집]
- Bott, Raoul; Tu, Loring Wuliang (1982). 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 82. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3. ISSN 0072-5285. MR 658304. Zbl 0496.55001.
외부 링크[편집]
- “Complex (in homological algebra)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Chain”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Cochain”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Complex”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Chain complex”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Cochain complex”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Boundary operator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Coboundary operator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Chain homomorphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Chain equivalence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Chain complex”. 《nLab》 (영어).
- “Differential graded vector space”. 《nLab》 (영어).
- “Complex”. 《nLab》 (영어).
- “Chain map”. 《nLab》 (영어).
- “Suspension of a chain complex”. 《nLab》 (영어).
- “Chain homology and cohomology”. 《nLab》 (영어).
- “Category of chain complexes”. 《nLab》 (영어).
- “Model structure on chain complexes”. 《nLab》 (영어).
- “Internal hom of chain complexes”. 《nLab》 (영어).
- “Tensor product of chain complexes”. 《nLab》 (영어).
- “Motivating the category of chain complexes” (영어). Math Overflow. 2016년 2월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 2월 10일에 확인함.