사슬 복합체

수학에서 사슬 복합체(-複合體, 영어: chain complex)는 대수적 위상수학에서 개발된 도구로, 여러 차원에서 공간의 성질을 나타내기 위해 쓰인다.

정의

사슬 복합체 $(A_\bullet, d_\bullet)$는 아벨 군이나 모듈의 열 ... A_-2, A_-1, A₀, A₁, A₂, ...로, 각 항 사이에 준동형사상(여기에서는 경계사상이라 불림) d_n : A_n→A_n−1가 있어서 서로 이웃한 두 사상의 합성이 0인 경우, 즉 임의의 n에 대해 d_n o d_n+1 = 0인 경우를 말한다. 이는 보통 기호로 다음과 같이 나타낸다.

$\cdots \to A_{n+1}\xrightarrow{d_{n+1}} A_n \xrightarrow{d_n} A_{n-1} \xrightarrow{d_{n-1}} A_{n-2} \to \cdots$

이 경우, 연산자 $d_n$은 경계 연산자(영어: boundary operator)라고 하고, $A_n$의 원소는 n차 사슬(영어: n-chain)이라고 한다. $d_n\alpha=0$인 n차 사슬 $\alpha\in A_n$을 순환(영어: cycle 사이클^[*])이라고 한다.

공사슬 복합체(영어: cochain complex}) $(A^\bullet, d^\bullet)$는 유사하지만, 화살표의 방향이 반대이다.

$\cdots \to A_{n-2}\xrightarrow{d^{n-2}} A_{n-1}\xrightarrow{d^{n-1}} A_n \xrightarrow{d^n} A_{n+1} \to \cdots$

이 경우, 연산자 $d^n$은 공경계 연산자(영어: coboundary operator)라고 하고, $A_n$의 원소는 n차 공사슬(영어: n-cochain)이라고 한다. $d_n\alpha=0$인 n차 공사슬 $\alpha\in A_n$을 쌍대순환(영어: cocycle)이라고 한다.

함께 보기

• 호몰로지

참고 문헌

• Bott, Raoul, Loring Tu (1982년). 《Differential Forms in Algebraic Topology》. Springer