사슬 복합체

수학에서 사슬 복합체(-複合體, 영어: chain complex)는 대수적 위상수학에서 개발된 도구로, 여러 차원에서 공간의 성질을 나타내기 위해 쓰인다.

정의[편집]

아벨 범주 $\mathcal C$ 가 주어졌다고 하자. (예를 들어, 아벨 군이나 가군, 또는 아벨 군 값을 갖는 층 등이 있다.)

$\mathcal C$ 속의 사슬 복합체 $(A_\bullet, d_\bullet)$ 는 $\mathcal C$ 의 대상들의 열 ... A_-2, A_-1, A₀, A₁, A₂, ...로, 각 항 사이에 사상 d_n : A_n→A_n−1가 있어서 서로 이웃한 두 사상의 합성이 0인 경우, 즉 임의의 n에 대해 d_n o d_n+1 = 0인 경우를 말한다. 이는 보통 기호로 다음과 같이 나타낸다.

\cdots \to A_{n+1}\xrightarrow{d_{n+1}} A_n \xrightarrow{d_n} A_{n-1} \xrightarrow{d_{n-1}} A_{n-2} \to \cdots

이 경우, 사상 $d_n$ 은 경계 사상(영어: boundary map)라고 하고, $A_n$ 의 원소는 n차 사슬(영어: n-chain)이라고 한다. $d_n\alpha=0$ 인 n차 사슬 $\alpha\in A_n$ 을 순환(영어: cycle 사이클^[*])이라고 한다.

공사슬 복합체(영어: cochain complex}) $(A^\bullet, d^\bullet)$ 는 유사하지만, 화살표의 방향이 반대이다.

\cdots \to A_{n-2}\xrightarrow{d^{n-2}} A_{n-1}\xrightarrow{d^{n-1}} A_n \xrightarrow{d^n} A_{n+1} \to \cdots

이 경우, 사상 $d^n$ 은 공경계 사상(영어: coboundary map)라고 하고, $A_n$ 의 원소는 n차 공사슬(영어: n-cochain)이라고 한다. $d_n\alpha=0$ 인 n차 공사슬 $\alpha\in A_n$ 을 쌍대순환(영어: cocycle)이라고 한다.

$\mathcal C$ 속의 사슬 복합체들과 이들 사이의 사슬 사상들의 범주는 $\operatorname{Comp}(\mathcal C)$ 라고 한다.

사슬 사상[편집]

아벨 범주 $\mathcal C$ 속의 두 사슬 복합체 $(C_\bullet,d_{C\bullet})$ , $(D_\bullet,d_{D\bullet})$ 사이의 사슬 사상(영어: chain map) $f_\bullet\colon C_\bullet\to D_\bullet$ 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.