단사 사상

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범주론에서, 단사 사상(單射寫像, 영어: monomorphism)은 두 사상의 등식에서 왼쪽에 합성되어 있을 때, 소거할 수 있는 사상이다. 전사 사상의 반대 개념이다.

정의[편집]

범주 의 사상 가 다음 조건을 만족시키면, 단사 사상이라고 한다.

  • 임의의 대상 및 사상 에 대하여, 만약 라면 이다.

정규 단사 사상[편집]

영 사상을 갖는 범주 에서, 어떤 사상 으로 나타내어질 수 있는 사상을 정규 단사 사상이라고 한다. 정규 단사 사상은 항상 단사 사상이다. 이 개념은 군론에서의 정규 부분군의 개념의 일반화이다.

강한 단사 사상[편집]

범주 에서, 강한 단사 사상(強-單射寫像, 영어: strong monomorphism)은 모든 전사 사상에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시키는 단사 사상이다. 즉, 단사 사상 가 다음 조건을 만족시킨다면 강한 단사 사상이라고 한다.

임의의 가환 사각형
에서 전사 사상이라면, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 대각 사상 가 존재한다.

성질[편집]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

동형 사상유효 단사 사상정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 단사 사상
동형 사상분할 단사 사상정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 단사 사상

분할 단사 사상정칙 단사 사상인 이유는 분할 단사 사상 및 그 왼쪽 역사상 이 주어졌을 때 이기 때문이다.

요네다 매장[편집]

요네다 매장을 통하여, 단사 사상의 조건을 준층 범주에서 해석할 수 있다. 즉, 국소적으로 작은 범주 속의 사상 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • 는 단사 사상이다.
  • 임의의 대상 에 대하여, 사상 집합 사이의 함수 단사 함수이다.
  • 준층 토포스 로 가는 요네다 매장 함자 아래서, 의 상 은 준층 토포스에서의 단사 사상이다.

반대 범주[편집]

범주 의 단사 사상은 그 반대 범주 전사 사상이다.

[편집]

구체적 범주 에서, 함수로서 단사 함수인 사상은 단사 사상이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 다만, 만약 자유 대상이 존재한다면, 즉 망각 함자 왼쪽 수반 함자 가 존재한다면, 그 역 또한 성립한다. 특히, 대수 구조 다양체의 범주의 경우, 항상 자유 대수 구조가 존재하므로 모든 단사 사상은 단사 함수이다.

여러 구체적 범주에서, 단사 사상들은 단사 함수인 단사 사상이다.

그러나 이는 항상 성립하지 않는다.

  • 나눗셈군군 준동형의 범주에서, 몫군 사상 는 단사 함수가 아니지만 단사 사상이다.

의 범주에서는 모든 사상(체의 확대)이 단사 사상이다.

집합의 범주[편집]

집합함수토포스에서는 다음이 성립한다.

(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)

군의 범주[편집]

군 준동형의 범주 에서는 다음이 성립한다.

벡터 공간의 범주[편집]

위의 벡터 공간선형 변환아벨 범주 에서는 다음이 성립한다.

위상 공간의 범주[편집]

위상 공간연속 함수의 범주 에서는 다음이 성립한다.

(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]

같이 보기[편집]