정칙 범주

범주론에서 정칙 범주(正則範疇, 영어: regular category)는 모든 유한 극한을 갖고, 모든 사상을 그 치역으로의 전사 사상과 치역에서 공역으로 가는 단사 사상으로 유일하게 분해할 수 있는 범주이다.

정의

정칙 사상

범주 ${\mathcal {C}}$에서, 어떤 두 사상 $f,g\colon X\to Y$의 쌍대 동등자

$\operatorname {coeq} \{f,g\}\colon Y\to Q$

로 나타낼 수 있는 사상을 정칙 전사 사상(영어: regular epimorphism)이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (쌍대 극한이므로) 항상 단사 사상이다.

마찬가지로, 범주 ${\mathcal {C}}$에서, 어떤 두 사상 $f,g\colon X\to Y$의 동등자

$\operatorname {eq} \{f,g\}\colon K\to X$

로 나타낼 수 있는 사상을 정칙 단사 사상(영어: regular monomorphism)이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (극한이므로) 항상 단사 사상이다.

유효 사상

사상 $f\colon X\to Y$가 스스로와의 당김

$\pi _{1},\pi _{2}\colon X\times _{Y}X\to X$

을 가지며, $\pi _{1},\pi _{2}$의 쌍대 동등자가 $f$와 같다면, $f$를 유효 전사 사상(영어: effective epimorphism)이라고 한다. 유효 전사 사상은 정의에 따라 정칙 전사 사상이다. 이와 같은 스스로와의 당김은 핵쌍(영어: kernel pair)이라고 하며, 대략 대수 구조에서의 합동 관계의 일반화로 생각할 수 있다. 즉, 유효 전사 사상은 "합동 관계"에 대한 "몫"으로의 사영 사상으로 생각할 수 있다.

사상 $f\colon X\to Y$가 스스로와의 밂

$\iota _{1},\iota _{2}\colon Y\to Y\sqcup _{X}Y$

을 가지며, $\iota _{1},\iota _{2}$의 동등자가 $f$와 같다면, $f$를 유효 단사 사상(영어: effective monomorphism)이라고 한다. 유효 단사 사상은 정의에 따라 정칙 단사 사상이다. 이 정의에서, $\iota _{1},\iota _{2}$의 동등자는 $f$의 "치역"으로 생각할 수 있다. 즉, 유효 단사 사상은 정의역과 치역 사이의 동형을 정의하는 단사 사상으로 생각할 수 있다.

정칙 범주

범주 ${\mathcal {C}}$가 다음 조건들을 만족시킨다면 정칙 범주라고 한다.

• 유한 완비 범주이다.
• 임의의 사상 $f\colon X\to Y$의 스스로에 대한 당김 ${\xleftarrow {\pi _{1}}}XX\times _{Y}X{\xrightarrow {\pi _{2}}}X$에 대하여, $\pi _{0},\pi _{1}\colon X\times _{Y}X\to X$의 쌍대 동등자가 존재한다. 이는 $f$의 핵쌍이라고 한다.
• 정칙 전사 사상의 당김은 정칙 전사 사상이다.

두 정칙 범주 사이의 정칙 함자 $F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$는 다음 조건을 만족시키는 함자이다.

• 유한 연속 함자이다. 즉, 유한 극한을 보존한다.
• 핵쌍의 쌍대 동등자를 보존한다.

작은 정칙 범주와 정칙 함자의 범주를 $\operatorname {RegCat}$라고 하자.

유효 정칙 범주

정칙 범주 ${\mathcal {C}}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 유효 정칙 범주(영어: effective regular category) 또는 바 완전 범주(영어: Barr-exact category)라고 한다. (이는 퀼런 완전 범주와 관계없는 개념이다.)

• 임의의 대상 $X$가 주어졌으며, $X\times X$의 부분 대상 $r\colon Y\hookrightarrow X\times X$가 동치 관계를 이룰 때, $r$는 핵쌍으로부터 유도된다.

성질

정칙 범주 ${\mathcal {C}}$에서, 모든 정칙 전사 사상들의 모임 $\operatorname {RegEpi} ({\mathcal {C}})$과 단사 사상들의 모임 $\operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})$은 분해계를 이룬다. 즉, 임의의 사상 $f\colon X\to Y$에 대하여,

$f=m\circ e$

인 정칙 전사 사상 $e\colon X\to Y'$과 단사 사상 $m\colon Y'\to Y$이 존재한다. $Y$의 부분 대상 $m$을 $f$의 치역이라고 한다.

정칙 사상

임의의 범주 속의 사상에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 정칙 전사 사상이자 단사 사상이다.
• 전사 사상이자 정칙 단사 사상이다.
• 동형 사상이다.

(반면, 임의의 범주에서는 전사 사상이자 단사 사상이지만 동형 사상이 아닌 사상이 존재할 수 있다.)

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

동형 사상 ⊆ 유효 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상

동형 사상 ⊆ 분할 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상

동형 사상 ⊆ 유효 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상

동형 사상 ⊆ 분할 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상

분할 단사 사상이 정칙 단사 사상인 이유는 분할 단사 사상 $f\colon X\to Y$ 및 그 왼쪽 역사상 $r\colon Y\to X$이 주어졌을 때 $f=\operatorname {eq} \{f\circ r,\operatorname {id} _{Y}\}$이기 때문이다. 마찬가지로, 분할 전사 사상이 정칙 전사 사상인 이유는 분할 전사 사상 $f\colon X\to Y$ 및 그 오른쪽 역사상 $s\colon Y\to X$이 주어졌을 때 $f=\operatorname {eq} \{s\circ f,\operatorname {id} _{X}\}$이기 때문이다.

어떤 범주에서 모든 사상 $f\colon X\to Y$의 스스로와의 당김 $X\times _{Y}X$이 존재한다면, 이 범주에서 정칙 전사 사상의 개념과 유효 전사 사상의 개념이 일치한다. 토포스(또는 더 일반적으로 준토포스)에서, 다음이 성립한다.

• 모든 전사 사상은 정칙 전사 사상이자 유효 전사 사상이다.
• 모든 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.

아벨 범주에서, 모든 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.

완전열

정칙 범주 ${\mathcal {C}}$ 속에서, 짧은 완전열은 다음과 같은 꼴의 그림이다.

$N{\overset {\iota }{\underset {\iota '}{\rightrightarrows }}}X{\overset {q}{\to }}Q$

여기서

• $\{\iota ,\iota '\}$는 $q$의 핵쌍이다.

만약 ${\mathcal {C}}$가 추가로 아벨 범주라면, $N{\overset {\iota }{\underset {\iota '}{\rightrightarrows }}}X{\overset {q}{\to }}Q$가 (정칙 범주의) 짧은 완전열인 것은

$0\to N{\overset {\iota -\iota '}{\to }}X{\overset {q}{\to }}Q\to 0$

가 (아벨 범주의) 완전열인 것과 동치이다.

정칙 논리

1차 논리에서 정칙 공식(영어: regular formula)은

• 명제 변수 $P_{1},P_{2},\dots$
• 논리곱 $\land$
• 존재 기호 $\exists$

만으로 나타낼 수 있는 공식이다. 정칙 논리는

$\forall x\colon (\phi (x)\to \phi '(x))$

꼴의 명제들만을 다룰 수 있는, 1차 논리를 약화시킨 논리이다.

정칙 범주의 내부 논리는 정칙 논리이다. 구체적으로, 정칙 범주 ${\mathcal {C}}$의 끝 대상 $1\in {\mathcal {C}}$을 골랐을 때, 다음과 같은 대응이 존재한다.

정칙 논리	정칙 범주
종류(영어: sort)	${\mathcal {C}}$의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$
$\forall (x:X),(x':X)\colon x=x'$인 종류 $X$	끝 대상 $1\in {\mathcal {C}}$
종류 $X$의 상수 $c$	사상 $c\colon 1\to X$
종류 $X\to Y$의 함수 $f$	사상 $f\colon X\to Y$
함수의 합성 $f\circ g$	사상의 합성 $f\circ g$
$\forall (x\colon X),(x'\colon X)\colon f(x)=f(x')\implies x=x'$가 성립하는 함수 $f$	단사 사상 $f\colon X\hookrightarrow Y$
종류 $Y$에 대한 술어 $R(y)\iff \exists x\in X\colon f(x)=y$	부분 대상 $f\colon X\hookrightarrow Y$
$\forall (y\colon Y)\exists (x\colon X)\colon f(x)=y$가 성립하는 함수 $f$	정칙 전사 사상 $f\colon X\twoheadrightarrow Y$
$\forall (z,z'\colon X\times Y)\colon \pi _{X}(z)=\pi _{X}(z')\land \pi _{Y}(z)=\pi _{Y}(z')\implies z=z'$, $\forall (x\colon X)\forall (y\colon Y)\exists (z\colon X\times Y)\colon (\pi _{X}(z)=x\land \pi _{Y}(z)=y)$	곱 $X{\overset {\pi _{X}}{\leftarrow }}X\times Y{\overset {\pi _{Y}}{\to }}Y$
$\forall (x\colon X)\colon f(x)=g(x)\implies \exists (y:Y)\colon h(y)=x$	동등자 $h\colon Y\hookrightarrow X{\overset {f}{\underset {g}{\rightrightarrows }}}Y$

같이 보기

• 토포스

참고 문헌

• Barr, Michael; Grillet, Pierre A.; van Osdol, Donovan H. (1971). 《Exact categories and categories of sheaves》 (영어). Lecture Notes in Mathematics 236. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0058579. ISSN 0075-8434. 
• Butz, Carsten (1998년 10월). 《Regular categories and regular logic》 (영어). Centre for Basic Research in Computer Science Lecture Series 98–2. ISSN 1395-2048. 
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter 편집 (2004). 《Categorical foundations: special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory》 (영어). Encyclopedia of Mathematics and its Applications 97. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781107340985. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001. 

외부 링크

• “Regular category” (영어). 《nLab》. 
• “Regular 2-category” (영어). 《nLab》. 
• “Regular functor” (영어). 《nLab》. 
• “Regular logic” (영어). 《nLab》. 
• “Exact category” (영어). 《nLab》. 
• “Barr embedding theorem” (영어). 《nLab》. 
• “Kernel pair” (영어). 《nLab》. 
• “Cokernel pair” (영어). 《nLab》. 
• “Regular monomorphism” (영어). 《nLab》. 
• “Regular epimorphism” (영어). 《nLab》. 
• “Effective monomorphism” (영어). 《nLab》. 
• “Effective epimorphism” (영어). 《nLab》. 
• “Embedding” (영어). 《nLab》. 
• “Covering” (영어). 《nLab》.