범주론에서 정칙 범주(正則範疇, 영어: regular category)는 모든 유한 극한을 갖고, 모든 사상을 그 치역으로의 전사 사상과 치역에서 공역으로 가는 단사 사상으로 유일하게 분해할 수 있는 범주이다.
정칙 사상[편집]
범주
에서, 어떤 두 사상
의 쌍대 동등자
![{\displaystyle \operatorname {coeq} \{f,g\}\colon Y\to Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41a4a9ae78a1b5c6fadce6c8ca28e6db867a5dc)
로 나타낼 수 있는 사상을 정칙 전사 사상(영어: regular epimorphism)이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (쌍대 극한이므로) 항상 단사 사상이다.
마찬가지로, 범주
에서, 어떤 두 사상
의 동등자
![{\displaystyle \operatorname {eq} \{f,g\}\colon K\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6f3179999851a94529eb38187fdac3e9603a1f)
로 나타낼 수 있는 사상을 정칙 단사 사상(영어: regular monomorphism)이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (극한이므로) 항상 단사 사상이다.
유효 사상[편집]
사상
가 스스로와의 당김
![{\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}\colon X\times _{Y}X\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55aad5ea19f9d53f80ca1fd60d78bc4808c9416)
을 가지며,
의 쌍대 동등자가
와 같다면,
를 유효 전사 사상(영어: effective epimorphism)이라고 한다. 유효 전사 사상은 정의에 따라 정칙 전사 사상이다. 이와 같은 스스로와의 당김은 핵쌍(영어: kernel pair)이라고 하며, 대략 대수 구조에서의 합동 관계의 일반화로 생각할 수 있다. 즉, 유효 전사 사상은 "합동 관계"에 대한 "몫"으로의 사영 사상으로 생각할 수 있다.
사상
가 스스로와의 밂
![{\displaystyle \iota _{1},\iota _{2}\colon Y\to Y\sqcup _{X}Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b202699b2e52ea132c252c6ea6013e1c1f4f6c2)
을 가지며,
의 동등자가
와 같다면,
를 유효 단사 사상(영어: effective monomorphism)이라고 한다. 유효 단사 사상은 정의에 따라 정칙 단사 사상이다. 이 정의에서,
의 동등자는
의 "치역"으로 생각할 수 있다. 즉, 유효 단사 사상은 정의역과 치역 사이의 동형을 정의하는 단사 사상으로 생각할 수 있다.
정칙 범주[편집]
범주
가 다음 조건들을 만족시킨다면 정칙 범주라고 한다.
- 유한 완비 범주이다.
- 임의의 사상
의 스스로에 대한 당김
에 대하여,
의 쌍대 동등자가 존재한다. 이는
의 핵쌍이라고 한다.
- 정칙 전사 사상의 당김은 정칙 전사 사상이다.
두 정칙 범주 사이의 정칙 함자
는 다음 조건을 만족시키는 함자이다.
작은 정칙 범주와 정칙 함자의 범주를
라고 하자.
유효 정칙 범주[편집]
정칙 범주
가 다음 조건을 만족시킨다면, 유효 정칙 범주(영어: effective regular category) 또는 바 완전 범주(영어: Barr-exact category)라고 한다. (이는 퀼런 완전 범주와 관계없는 개념이다.)
- 임의의 대상
가 주어졌으며,
의 부분 대상
가 동치 관계를 이룰 때,
는 핵쌍으로부터 유도된다.
정칙 범주
에서, 모든 정칙 전사 사상들의 모임
과 단사 사상들의 모임
은 분해계를 이룬다. 즉, 임의의 사상
에 대하여,
![{\displaystyle f=m\circ e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1069ec53aeafae8780e797ebe27e424ae85df532)
인 정칙 전사 사상
과 단사 사상
이 존재한다.
의 부분 대상
을
의 치역이라고 한다.
정칙 사상[편집]
임의의 범주 속의 사상에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
(반면, 임의의 범주에서는 전사 사상이자 단사 사상이지만 동형 사상이 아닌 사상이 존재할 수 있다.)
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
- 동형 사상 ⊆ 유효 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상
- 동형 사상 ⊆ 분할 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상
- 동형 사상 ⊆ 유효 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상
- 동형 사상 ⊆ 분할 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상
분할 단사 사상이 정칙 단사 사상인 이유는 분할 단사 사상
및 그 왼쪽 역사상
이 주어졌을 때
이기 때문이다. 마찬가지로,
분할 전사 사상이 정칙 전사 사상인 이유는 분할 전사 사상
및 그 오른쪽 역사상
이 주어졌을 때
이기 때문이다.
어떤 범주에서 모든 사상
의 스스로와의 당김
이 존재한다면, 이 범주에서 정칙 전사 사상의 개념과 유효 전사 사상의 개념이 일치한다. 토포스(또는 더 일반적으로 준토포스)에서, 다음이 성립한다.
- 모든 전사 사상은 정칙 전사 사상이자 유효 전사 사상이다.
- 모든 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.
아벨 범주에서, 모든 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.
완전열[편집]
정칙 범주
속에서, 짧은 완전열은 다음과 같은 꼴의 그림이다.
![{\displaystyle N{\overset {\iota }{\underset {\iota '}{\rightrightarrows }}}X{\overset {q}{\to }}Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375792e67489b74eb60541b279772779a8f0ea56)
여기서
는
의 핵쌍이다.
만약
가 추가로 아벨 범주라면,
가 (정칙 범주의) 짧은 완전열인 것은
![{\displaystyle 0\to N{\overset {\iota -\iota '}{\to }}X{\overset {q}{\to }}Q\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91cfe7181bd757bb03a0d5a3a300378ceab8b365)
가 (아벨 범주의) 완전열인 것과 동치이다.
정칙 논리[편집]
1차 논리에서 정칙 공식(영어: regular formula)은
- 명제 변수
![{\displaystyle P_{1},P_{2},\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b00c17bfe4b0531b2cc02198f764ee4ee6b6a9c7)
- 논리곱
![{\displaystyle \land }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6823e5a222eb3ca49672818ac3d13ec607052c4)
- 존재 기호
![{\displaystyle \exists }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ed842b6b90b2fdd825320cf8e5265fa937b583)
만으로 나타낼 수 있는 공식이다. 정칙 논리는
![{\displaystyle \forall x\colon (\phi (x)\to \phi '(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb394c3d6005a315bc7436cff2f113280d1aef13)
꼴의 명제들만을 다룰 수 있는, 1차 논리를 약화시킨 논리이다.
정칙 범주의 내부 논리는 정칙 논리이다. 구체적으로, 정칙 범주
의 끝 대상
을 골랐을 때, 다음과 같은 대응이 존재한다.
정칙 논리 |
정칙 범주
|
종류(영어: sort) |
의 대상
|
인 종류 ![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab) |
끝 대상
|
종류 의 상수 ![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455) |
사상
|
종류 의 함수 ![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) |
사상
|
함수의 합성 ![{\displaystyle f\circ g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f61ca7838709fbae07dce9c0d513770f10cfae) |
사상의 합성
|
가 성립하는 함수 ![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) |
단사 사상
|
종류 에 대한 술어 ![{\displaystyle R(y)\iff \exists x\in X\colon f(x)=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/402ba5d3cbc594ec6fa0ae891debc08fff3c4535) |
부분 대상
|
가 성립하는 함수 ![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) |
정칙 전사 사상
|
,
![{\displaystyle \forall (x\colon X)\forall (y\colon Y)\exists (z\colon X\times Y)\colon (\pi _{X}(z)=x\land \pi _{Y}(z)=y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20d385da5010cd4941b490a54ddb22e978c4cf0b) |
곱
|
![{\displaystyle \forall (x\colon X)\colon f(x)=g(x)\implies \exists (y:Y)\colon h(y)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a9e193125b0aa5ee7664591a462d495691ff30d) |
동등자
|
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
- Barr, Michael; Grillet, Pierre A.; van Osdol, Donovan H. (1971). 《Exact categories and categories of sheaves》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 236. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0058579. ISSN 0075-8434.
- Butz, Carsten (1998년 10월). 《Regular categories and regular logic》. Centre for Basic Research in Computer Science Lecture Series (영어) 98–2. ISSN 1395-2048.
- Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, 편집. (2004). 《Categorical foundations: special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory》. Encyclopedia of Mathematics and its Applications (영어) 97. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781107340985. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
외부 링크[편집]