토포스

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범주론, 논리학대수기하학에서, 토포스(영어: topos, 복수 영어: topoi 토포이[*])는 어떤 공간 위의 들의 범주와 유사한 성질을 갖는 범주이다. 토포스는 대수기하학에서는 위상 공간의 개념의 일반화로서 등장하며, 반면 논리학에서는 토포스는 집합의 범주의 일반화로서 등장한다. 이러한 다른 토포스에서도 집합의 범주와 유사한 내부 언어(영어: internal language)를 사용할 수 있다.

정의[편집]

토포스(영어: (elementary) topos)는 다음 조건들을 만족시키는 범주이다.

  • 모든 유한 극한이 존재한다.
  • 멱대상(영어: power object)이 존재한다.

그로텐디크 토포스[편집]

그로텐디크 토포스(영어: Grothendieck topos)는 위치 위의 (집합 값을 갖는) 들의 범주와 동치인 범주이다. 이는 지로드 정리(영어: Giraud’s theorem)를 사용하여 공리적으로도 정의할 수 있다. 모든 그로텐디크 토포스는 토포스임을 보일 수 있다.

기하학적 사상[편집]

두 토포스 X, Y 사이의 기하학적 사상(영어: geometric morphism) f\colon X\to Y는 다음 조건을 만족시키는 수반 함자

f^*\dashv f_*
f_*\colon X\to Y
f^*\colon Y\to X

이다.

  • f^*는 모든 유한 극한을 보존한다.

만약 \operatorname{Sh}(X)\operatorname{Sh}(Y)위상 공간 위의 그로텐디크 토포스이며, 연속 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다면, 층의 직상 f_*\colon\operatorname{Sh}(X)\to\operatorname{Sh}(Y) 및 역상 f^*\colon\operatorname{Sh}(Y)\to\operatorname{Sh}(X)은 기하학적 사상을 이룬다.

논리적 사상[편집]

두 토포스 X, Y 사이의 논리적 사상(영어: logical morphism) f\colon X\to Y는 유한 극한과 멱대상을 보존하는 함자이다.

성질[편집]

토포스의 공리들로부터, 다음과 같은 추가 성질들을 유도할 수 있다.

  • 모든 유한 극한이 존재한다. 특히, 유한곱 A_1\times A_2\times\cdots\times A_n이 존재한다.
  • 모든 유한 쌍대극한(colimit)이 존재한다. 특히, 유한 쌍대곱 A_1\sqcup A_2\sqcup\cdots\sqcup A_n이 존재한다.
  • 시작 대상 0끝 대상 1이 존재한다. 또한, 서로 비동형인 두 대상이 존재하는 토포스에서는 0과 1이 서로 동형이지 않다.
  • 부분 대상 분류자 2가 존재한다.
  • 임의의 두 대상 A,B에 대하여, 지수 대상 A^B (함수들의 집합과 유사한 역할을 하는 대상)이 존재한다. 특히, 멱대상 2^B이 존재하며, 이에 대하여 모든 토포스는 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.

그로텐디크 토포스는 토포스이며, 또한 다음과 같은 추가 성질을 가진다.

  • 그로텐디크 토포스는 항상 자연수 대상(영어: natural numbers object)을 가지며, 이는 자연수 집합을 값으로 하는 상수층 \underline{\mathbb N}이다.

[편집]

토포스의 예는 다음을 들 수 있다.

  • 집합의 범주 \operatorname{Set}
    • 이는 한 점으로 구성되는 공간 위의 (집합 값을 갖는) 의 범주이므로, 그로텐디크 토포스를 이룬다.
  • 유한 집합의 범주 \operatorname{FinSet}
    • 이는 그로텐디크 토포스가 아니다.
  • G작용을 갖춘 집합 및 작용에 호환되는 함수들의 범주 G\text{-Set}
  • 작은 범주 \mathcal C에 대하여, 함자 범주 \operatorname{Set}^\mathcal C
  • 작은 위치 위의 (집합 값을 갖는) 의 범주는 그로텐디크 토포스이며, 따라서 역시 토포스이다.
  • 토포스 \mathcal T의 대상 X\in\mathcal T에 대한 범주 \mathcal T/X 또한 토포스이다.

역사[편집]

토포스의 개념은 알렉산더 그로텐디크대수기하학 이론의 관점에서 1960년대에 도입하였다.[1][2] 그로텐디크가 창안한 단어 프랑스어: topos 토포스[*] (복수 프랑스어: topoï 토포이[*])는 고대 그리스어: τόπος 토포스[*](장소, 복수 고대 그리스어: τόποι 토포이[*])에서 유래하였다.

윌리엄 로비어(영어: William Lawvere)와 마일스 티어니(영어: Myles Tierney)는 수리논리학에 토포스의 개념을 응용하였고, 그로텐디크 토포스의 개념을 (기초적) 토포스로 일반화하였다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. McLarty, Colin (1990년 9월). “The uses and abuses of the history of topos theory” (영어). 《The British Journal for the Philosophy of Science》 41 (3): 351–375. doi:10.1093/bjps/41.3.351. ISSN 0007-0882. JSTOR 687825. Zbl 0709.18002. 
  2. Illusie, Luc (2004년 9월). “What is a ... topos?” (영어). 《Notices of the American Mathematical Society》. Zbl 1071.18003. 
  3. Bell, John Lane (2005). 〈The development of categorical logic〉. 《Handbook of Philosophical Logic, vol. 12》 (영어). Springer. 279쪽. ISBN 978-1-4020-3091-8. 

바깥 고리[편집]