생성 집합

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범주론에서, 생성 집합(生成集合, 영어: generating set, separating set)은 그 원소들의 쌍대곱몫 대상으로 모든 대상을 나타낼 수 있는, 범주 속의 대상 집합이다.

정의[편집]

범주 \mathcal C 속의 대상들의 집합 \mathfrak G가 다음 조건을 만족시킨다면, \mathcal C생성 집합이라고 한다.[1]:Definition 7.14

  • 임의의 두 사상 f,g\colon X\to Y에 대하여, 만약 f\ne g라면, f\circ h\ne g\circ h가 되는 대상 G\in\mathfrak G 및 사상 h\colon G\to X가 존재한다.
    G\overset{\exists h}\to X\underset g{\overset f\rightrightarrows}Y

만약 \mathcal C국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다.

만약 \mathcal C국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 쌍대곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다.

  • 모든 대상 X\in\mathcal G에 대하여, 다음과 같은 사상이 전사 사상이다.
    \pi=\coprod_{G\in\mathfrak G,h\in\hom_{\mathcal C}(G,X)}h
    \pi\colon\coprod_{G\in\mathfrak G,h\in\hom(G,X)}G\to X

다시 말해, 모든 대상은 생성 집합에 속하는 대상들의 쌍대곱몫 대상과 동형이다.

만약 생성 집합 \mathfrak G=\{G\}한원소 집합이라면, G\mathcal C생성 대상(영어: generating object, generator)이라고 한다.

위 개념을 모두 쌍대화하여 쌍대 생성 집합(영어: cogenerating set, coseparating set)과 쌍대 생성 대상(영어: cogenerating object, cogenerator, coseparator)을 정의할 수 있다. 범주 \mathcal C 속의 대상들의 집합 \mathfrak G가 다음 조건을 만족시킨다면, \mathcal C쌍대 생성 집합이라고 한다.[1]:Definition 7.16

  • 임의의 두 사상 f,g\colon X\to Y에 대하여, 만약 f\ne g라면, h\circ f\ne h\circ g가 되는 대상 G\in\mathfrak G 및 사상 h\colon Y\to G가 존재한다.
    X\underset g{\overset f\rightrightarrows}Y\overset{\exists h}G

만약 \mathcal C국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다.

만약 \mathcal C국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다.

  • 모든 대상 X\in\mathcal G에 대하여, 다음과 같은 사상이 단사 사상이다.
    \pi=\prod_{G\in\mathfrak G,h\in\hom_{\mathcal C}(X,\mathfrak G)}h
    \pi\colon X\to\prod_{G\in\mathfrak G,h\in\hom(X,G)}G

다시 말해, 모든 대상은 쌍대 생성 집합에 속하는 대상들의 부분 대상과 동형이다.

대수 구조의 경우[편집]

대수 구조 다양체범주 \mathcal V는 항상 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합의 범주로 가는 망각 함자 및 그 오른쪽 수반 함자자유 대상 함자

\operatorname{Forget}\colon\mathcal V\to\operatorname{Set}\colon\operatorname{Free}

를 생각하자. 이 경우, 한원소 집합 위의 자유 대상 \operatorname{Free}(\{\bullet\})은 항상 \mathcal V의 생성 대상을 이룬다. 한원소 집합 위의 자유 대상쌍대곱은 더 큰 집합 위의 자유 대상이다. 즉, 모든 집합 S에 대하여 다음이 성립한다.

\coprod_{s\in S}\operatorname{Free}(\{s\})\cong\operatorname{Free}(S)

따라서, \operatorname{Free}(\{\bullet\})이 생성 대상이라는 것은 \mathcal V에 속하는 모든 대수는 자유 대수의 몫대수로 나타낼 수 있음을 뜻한다.

대수 A를 이와 같이 자유 대수의 몫대수로 나타내는 것을 A표시(영어: presentation)라고 한다. 이는 일반적으로 다음과 같이 표기한다.

A\cong\langle S|(t_1=t_2)_{(t_1,t_2)\in\sim}\rangle

여기서

군의 표시는 대수 구조의 표시의 특수한 경우다.

반면, 일반적으로 대수 구조 다양체의 범주는 쌍대 생성 대상을 가지지 않을 수 있다.

[편집]

집합[편집]

집합 S에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 집합과 함수의 범주 \operatorname{Set}의 생성 대상이다.
  • 공집합이 아니다.

집합 S에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:Example 7.18(1)

위상 공간[편집]

위상 공간연속 함수의 범주 \operatorname{Top}국소적으로 작은 범주이며, 완비 범주이며, 쌍대 완비 범주이다. 이 범주에서 한원소 공간 \{\bullet\}은 생성 대상이다. 구체적으로, 한원소 공간들의 쌍대곱이산 공간이며, 임의의 위상 공간 X에 대하여 X 위에 이산 위상을 부여한 공간 \operatorname{Disc}(\operatorname{Points}(X))을 정의한다면, 수반 함자

\operatorname{Points}\colon\operatorname{Top}\rightleftarrows\operatorname{Set}\colon\operatorname{Disc}

의 쌍대단위원

\eta\colon\operatorname{Disc}\circ\operatorname{Points}\Rightarrow\operatorname{Id}_{\operatorname{Top}}

연속 함수

\eta_X\colon\operatorname{Disc}(\operatorname{Points}(X))\to X

를 정의하며, 이는 (전단사 함수이므로) 전사 사상이자 단사 사상이다. 즉, 모든 위상 공간은 이산 공간의 범주론적 몫 대상으로 나타낼 수 있다.

위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:Example 7.18(4)

가군[편집]

모든 은 1을 가지며, 모든 가군은 1을 보존한다고 하자.

R 위의 왼쪽 가군의 범주 _R\operatorname{Mod}대수 구조 다양체의 범주이므로, 한원소 집합 위의 자유 가군 _RR는 그 생성 대상을 이룬다. 마찬가지로, R_R오른쪽 가군의 범주 \operatorname{Mod}_R의 생성 대상을 이룬다.

R 위의 왼쪽 가군의 범주 _R\operatorname{Mod}는 또한 항상 쌍대 생성 대상을 갖는다. 구체적으로, 환 R의 모든 왼쪽 단순 가군(=극대 왼쪽 아이디얼 _R\mathfrak M에 대한 _RR의 몫가군 R/\mathfrak M)들의 (동형류의) 단사 껍질들의 직합

\bigoplus_{_R\mathfrak M}{}E(_RR/\mathfrak M)

_R\operatorname{Mod}표준 쌍대 생성 가군(영어: canonical cogenerator)이라고 하며, 이는 _R\operatorname{Mod}의 쌍대 생성 대상을 이룬다.[2]:508, Theorem 19.10 특히, 모든 왼쪽 단순 가군들의 집합은 쌍대 생성 집합을 이룬다.

일반적으로, 자유 가군 _RR는 쌍대 생성 대상이 아닐 수 있다. 환 R에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.[2]:514, Theorem (19.25)

이 조건을 만족시키는 환을 왼쪽 유사 프로베니우스 환(영어: left pseudo-Frobenius ring)이라고 한다.

아벨 군[편집]

아벨 군의 개념은 정수환 \mathbb Z 위의 가군과 같다. 이 경우 단순 가군은 소수 크기의 순환군 \mathbb Z/p이며, 그 단사 껍질프뤼퍼 군 \mathbb Z(p^\infty)이다. 따라서 표준 쌍대 생성 가군은 모든 프뤼퍼 군들의 직합나눗셈군

\mathbb Q/\mathbb Z=\bigoplus_p\mathbb Z(p^\infty)

이다.[2]:509, Example (19.11)(1) 즉, 모든 아벨 군 G직접곱

\prod_{|G|}(\mathbb Q/\mathbb Z)

보다 일반적으로, 임의의 데데킨트 정역 D에 대하여, 표준 쌍대 생성 가군은 분수체몫가군 (\operatorname{Frac}D)/D이다.[2]:509, Example (19.11)(1)

(쌍대) 생성 집합이 없는 범주[편집]

범주 \operatorname{Set}\times\operatorname{Set}는 생성 대상을 갖지 않는다. 그러나

\left\{(\{\bullet\},\varnothing),(\varnothing,\{\bullet\})\right\}

\operatorname{Set}\times\operatorname{Set} 생성 집합을 이룬다.[1]:Example 7.15(3)

다음 범주들은 쌍대 생성 집합을 갖지 않는다.[1]:Example 7.18(8)

참고 문헌[편집]

  1. Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George (2006). “Abstract and concrete categories: the joy of cats”. 《Reprints in Theory and Applications of Categories》 (영어) 17: 1–507. Zbl 1113.18001. 
  2. Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. 

바깥 고리[편집]