덮개 (대수학)

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호몰로지 대수학에서, 덮개(영어: cover)는 주어진 대상의, 특정 조건을 만족시키는 "가장 가까운" 근사이며, 이는 동형 사상 아래 유일하다. 특히, 주어진 대상을 사영 대상으로 근사하는 사영 덮개(영어: projective cover)의 개념이 자주 사용된다. 그 쌍대 개념은 껍질(영어: envelope, hull)이며, 특히 주어진 대상을 단사 대상으로 근사하는 단사 껍질(영어: injective envelope, injective hull)의 개념이 자주 사용된다.

정의[편집]

범주 속의 대상들의 모임 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 대상 -덮개는 다음 세 조건들을 만족시키는 사상 이다.

  • 임의의 대상 및 사상 에 대하여, 항상 가 되는 사상 가 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다.) 즉, 의 모든 원소는 -사영 대상이다.
  • 임의의 자기 사상 에 대하여, 만약 라면 자기 동형 사상이다.

만약 마지만 조건을 생략할 경우, 준덮개(準-, 영어: precover)의 개념을 얻는다.

그 쌍대 개념은 -껍질(영어: -envelope, -hull)이라고 한다.

특히, 다음과 같은 경우가 흔히 쓰인다.

  • 만약 사영 대상들의 모임일 경우, -덮개를 사영 덮개(영어: projective cover)라고 한다.
  • 만약 단사 대상들의 모임일 경우, -껍질을 단사 껍질(영어: injective envelope)이라고 한다.
  • 만약 가 어떤 가군 범주이며, 평탄 가군들의 모임일 경우, -덮개를 평탄 덮개(영어: flat cover)라고 한다.
  • 만약 가 어떤 가군 범주이며, 꼬임 없는 가군들의 모임일 경우, -덮개를 꼬임 없는 덮개(영어: torsion-free cover)라고 한다.

성질[편집]

-덮개는 항상 동형 사상 아래 유일하다. (그러나 이 동형 사상은 유일하지 않을 수 있다.)

증명:

대상 의 두 -준덮개 , 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, -준덮개의 성질에 의하여 이자 가 되는 가 존재한다.

만약 , 이 추가로 -덮개라면, 자기 동형 사상이며, 따라서 역시 동형 사상이다.

사영 대상을 충분히 가지는 범주 사영 대상 및 사상 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:15, Theorem 1.2.12

증명:

덮개 → 잉여적 전사: 다음 두 조건을 증명하면 족하다.

  • (a): 전사 사상이다.
  • (b): 임의의 사상 에 대하여, 전사 사상이라면 역시 전사 사상이다.

(a): 사영 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 사영 대상 전사 사상 를 찾을 수 있다. 그렇다면, 준덮개의 정의에 의하여 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 사상 를 찾을 수 있다.

전사 사상이므로, 전사 사상의 성질에 의하여 역시 전사 사상이다.
(b): 전사 사상이라고 하자. 사영 대상의 정의에 의하여, 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 가 존재한다.

덮개의 정의에 의하여, 자기 동형 사상이며, 따라서 전사 사상이다.

잉여적 전사 → 덮개: 사영 대상 잉여적 전사 사상 가 주어졌다고 하자. 다음 두 조건을 증명하면 족하다.

  • (a) 준덮개이다.
  • (b) 덮개이다.

(a): 전사 사상이므로, 사영 대상의 정의에 의하여 자명하게 참이다.
(b): 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 자기 사상 가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 전사 사상이므로 잉여적 전사 사상의 정의에 의하여 역시 전사 사상이다. 공역사영 대상전사 사상은 항상 분할 전사 사상이므로, 는 오른쪽 역사상 , 를 가지며, 단사 사상이다.

그렇다면, 이므로, 잉여적 전사 사상의 정의에 의하여 역시 전사 사상이다. 단사 사상이자 분할 전사 사상이므로 동형 사상이며, 따라서 역시 동형 사상이다.

마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 범주 의 단사 대상 및 사상 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:14, Theorem 1.2.11

특히, 에 대하여, -왼쪽 가군의 범주 또는 -오른쪽 가군의 범주 는 둘 다 사영 대상을 충분히 가지는 범주이자 단사 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 위 두 정리가 성립한다.

존재[편집]

단사 대상을 충분히 가지는 쌍대 완비 AB5 아벨 범주 의 모든 대상은 항상 단사 껍질을 갖는다. 마찬가지로, 사영 대상을 충분히 가지는 완비 AB5* 아벨 범주 의 모든 대상은 항상 사영 덮개를 갖는다.

가 주어졌다고 하자. -왼쪽 가군의 범주 의 임의의 대상 에 대하여, 다음이 성립한다.

  • 은 항상 단사 껍질을 갖는다.
  • 은 항상 평탄 덮개를 갖는다.[2]
  • 만약 왼쪽 완전환이라면, 은 항상 사영 껍질을 갖는다. (그러나 임의의 환 위의 가군에 대하여, 사영 껍질은 일반적으로 존재하지 않을 수 있다.)
  • 은 항상 꼬임 없는 덮개를 갖는다.[3]:511, Example XVI.2.11[1]:17, Theorem 1.3.2[4] 여기서 꼬임 없는 왼쪽 가군 은 임의의 에 대하여 을 만족시키는 왼쪽 가군이다.

부자연성[편집]

범주 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

그렇다면, 다음과 같은 조건들을 만족시키는 자기 함자 자연 변환 가 존재할 수 없다.[5]

  • 임의의 대상 에 대한 사영 대상이다.
  • 의 모든 성분 는 사영 덮개를 이룬다.

특히, 임의의 환 에 대하여, 왼쪽 가군 범주 는 항상 쌍대 생성 대상을 가지므로 위 정리가 적용된다. 즉, 모든 왼쪽 가군단사 가군이거나, 아니면 단사 껍질은 자연 변환의 성분이 될 수 없다. 마찬가지로, 왼쪽 가군 범주 에서 생성 대상을 이룬다. 만약 추가로 왼쪽 완전환이라고 하면, 항상 사영 덮개가 존재하지만, 만약 사영 왼쪽 가군이 아닌 왼쪽 가군이 존재한다면, 위 정리에 따라서 사영 덮개는 자연 변환의 성분이 될 수 없다.

[편집]

자명한 경우로, 만약 범주 에서 대상 모임 가 주어졌을 때, 대상 -덮개의 개념은 공역으로 하는 동형 사상의 개념과 같으며, -껍질의 개념은 정의역으로 하는 동형 사상의 개념과 같다.

역사[편집]

단사 껍질의 개념은 1953년에 베노 에크만(독일어: Beno Eckmann)과 안드레아스 쇼프(독일어: Andreas Schopf)가 도입하였고, 같은 논문에서 이들은 모든 가군이 유일한 단사 껍질을 가짐을 증명하였다.[6] "단사 껍질"(영어: injective hull)이라는 용어는 1958년에 최초로 사용되었다.[7][8] 그 쌍대 개념인 사영 덮개의 개념은 1960년에 하이먼 배스가 도입하였다.[9][10]:§5 꼬임 없는 덮개의 개념은 1963년에 에드거 얼 이넉스(영어: Edgar Earle Enochs)가 도입하였다. [4]

일반적인 범주에서의 덮개의 개념은 이넉스가 1981년 논문에서 도입하였다.[11] 이 논문에서 이넉스는 모든 가군이 평탄 덮개를 가진다고 추측하였고,[11]:191 이 추측은 2001년에 증명되었다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Xu, Jinzhong (1996). 《Flat covers of modules》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1634. Springer-Verlag. ISSN 0075-8434. MR 1438789. doi:10.1007/BFb0094173. 
  2. Bican, Ladislav; El Bashir, Robert; Enochs, Edgar Earle (2001). “All modules have flat covers”. 《Bulletin of the London Mathematical Society》 (영어) 33 (4): 385–390. ISSN 0024-6093. MR 1832549. doi:10.1017/S0024609301008104. 
  3. Eklof, Paul C.; Mekler, Alan H. (2002년 4월 29일). 《Almost free modules: set-theoretic methods》. North-Holland Mathematical Library (영어) 65 2판. North-Holland. ISBN 978-0-444-50492-0. ISSN 0924-6509. doi:10.1016/S0924-6509(02)80001-0. 
  4. Enochs, Edgar Earle (1963년 12월). “Torsion free covering modules”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 14 (6): 884–889. ISSN 0002-9939. MR 0168617. 
  5. Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Rosický, Jiří; Tholen, Walter (2002년 12월). “Injective hulls are not natural”. 《Algebra Universalis》 (영어) 48 (4). ISSN 0002-5240. doi:10.1007/s000120200006. 
  6. Eckman, Beno; Schopf, Andreas (1953). “Über injective Moduln”. 《Archiv der Mathematik》 (독일어) 4 (2): 75–78. ISSN 0003-9268. MR 0055978. doi:10.1007/BF01899665. 
  7. Matlis, Eben (1958년 5월). “Injective modules over Noetherian rings”. 《Pacific Journal of Mathematics》 (영어) 8 (3): 511–528. ISSN 0030-8730. MR 0099360. doi:10.2140/pjm.1958.8.511. 
  8. Rosenberg, Alex; Zelinsky, Daniel (1959). “Finiteness of the injective hull”. 《Mathematische Zeitschrift》 (영어) 70 (1): 372–380. ISSN 0025-5874. doi:10.1007/BF01558598. 
  9. Bass, Hyman (1960). “Finitistic dimension and a homological generalization of semi-primary rings”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 95 (3): 466–488. ISSN 0002-9947. JSTOR 1993568. MR 0157984. doi:10.1090/S0002-9947-1960-0157984-8. 
  10. Lam, T. Y. (1999). 〈Bass’s work in ring theory and projective modules〉. Lam, L. Y.; Magid, A. R. 《Algebra, K-theory, groups, and education on the occasion of Hyman Bass’s 65th birthday》. Contemporary Mathematics (영어) 243. American Mathematical Society. 83–124쪽. Bibcode:2000math......2217L. ISBN 978-0-8218-1087-3. MR 1732042. arXiv:math/0002217. doi:10.1090/conm/243/03688. 
  11. Enochs, Edgar Earle (1981). “Injective and flat covers, envelopes and resolvents”. 《Israel Journal of Mathematics》 (영어) 39 (3): 189–209. ISSN 0021-2172. MR 636889. doi:10.1007/BF02760849. 

외부 링크[편집]