본질적 단사 사상

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범주론에서, 본질적 단사 사상(本質的單射寫像, 영어: essential monomorphism)은 동형 사상에 매우 가까워, 이와 합성하는 것이 사상이 단사 사상인지 여부에 영향을 끼치지 않는 단사 사상이다. 마찬가지로, 잉여적 전사 사상(剩餘的全射寫像, 영어: superfluous epimorphism)은 동형 사상에 매우 가까워, 이와 합성하는 것이 사상이 전사 사상인지 여부에 영향을 끼치지 않는 전사 사상이다.

정의[편집]

범주 단사 사상 가 다음 조건을 만족시킨다면, 본질적 단사 사상이라고 한다.

임의의 사상 에 대하여, 만약 단사 사상이라면, 역시 단사 사상이다.

마찬가지로, 범주 전사 사상 가 다음 조건을 만족시킨다면, 잉여적 전사 사상이라고 한다.

임의의 사상 에 대하여, 만약 전사 사상이라면, 역시 전사 사상이다.

보다 일반적으로, 위 정의에서, 단사 사상모임 또는 전사 사상모임을 다른 종류의 사상의 모임 로 바꾸어 -본질적 사상-잉여적 사상을 정의할 수 있다.

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임의의 범주에서, 동형 사상은 항상 본질적 단사 사상이자 잉여적 전사 사상이다.

집합[편집]

집합함수범주 에서, 본질적 단사 사상 및 잉여적 전사 사상은 전단사 함수 밖에 없다.

가군[편집]

위의 왼쪽 가군 의 부분 가군 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 경우 본질적 부분 가군, 본질적 확대라고 한다.[1]:74, Definition 3.26

  • 포함 사상 왼쪽 가군 범주 의 본질적 단사 사상이다.
  • 의 임의의 부분 가군 에 대하여, 만약 이라면 이다.

(이 두 조건이 동치인 것은 으로 갖는 가군 준동형 를 생각하면 알 수 있다.)

마찬가지로, 위의 왼쪽 가군 의 부분 가군 몫가군 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 경우 잉여적 부분 가군이라고 한다.[1]:74

  • 몫 사상 왼쪽 가군 범주 의 잉여적 전사 사상이다.
  • 의 임의의 부분 가군 에 대하여, 만약 이라면 이다.

(이 두 조건이 동치인 것은 으로 갖는 가군 준동형 를 생각하면 알 수 있다.)

본질적 부분 가군은 흔히 로, 잉여적 부분 가군은 흔히 로 표기한다.

특히, 자체의 본질적/잉여적 부분 가군을 본질적/잉여적 왼쪽 아이디얼이라고 한다.

참고 문헌[편집]

  1. Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. 

외부 링크[편집]