자연 변환

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범주론에서, 자연 변환(自然變換, 영어: natural transformation)은 두 함자 사이에 범주적 구조를 보존하는 변환이다. 함자의 범주에서의 사상으로 생각할 수 있다.

정의[편집]

F,G\colon\mathcal C\to\mathcal D가 (공변) 함자라고 하자. 그렇다면 FG 사이의 자연 변환 \eta\colon F\Rightarrow G는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 모든 대상 X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)에 대하여, 사상 \eta_X\colon F(X)\to G(X)

이 데이터는 다음 성질을 만족하여야 한다. 모든 사상 f\colon X\to Y (X,Y\in\operatorname{ob}(\mathcal C))에 대하여,

\eta_YF(f)=G(f)\eta_X.

즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.

Natural transformation.svg

마찬가지로, 반변함자 F,G\colon\mathcal C\to\mathcal D^{\operatorname{op}} 사이의 자연 변환도 정의할 수 있다.

자연 동형 사상(自然同形寫像, natural isomorphism)은 모든 \eta_X동형 사상을 이루는 자연 변환 \eta이다. 두 함자 사이에 자연동형사상이 존재하는 경우, 두 함자가 자연 동형(自然同形, naturally isomorphic)이라고 한다.

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군론에서, G의 반대군(opposite group) G^{\operatorname{op}}은 그 군 연산의 순서를 뒤집은 군이다. 이 "뒤집기"는 함자 \mathrm{Grp}\to\mathrm{Grp}를 이룬다. (여기서 \mathrm{Grp}는 군과 군 준동형의 범주다.) 이 함자는 항등함자 \mathrm{Grp}\to\mathrm{Grp}와 자연동형이다. 이는 군의 반대군을 "자연스럽게" 정의할 수 있다는 것으로 해석할 수 있다.

(실수 또는 복소수) 유한 차원 벡터 공간 V는 그 쌍대공간 V^*과 항상 동형이다. 그러나 이에 해당하는 함자\mathrm{FinVect}\to\mathrm{FinVect}는 항등함자와 자연동형이지 않다. 이는 쌍대공간을 정의하기 위해서는 기저를 골라야 하는데, 임의의 벡터 공간의 경우 자연스러운 기저를 정의할 수 없기 때문이다. (물론 기저는 항상 존재하나, 이를 자연스럽게 정의할 수 없다.) 물론, 유한 차원 내적공간의 범주의 경우, 쌍대공간을 정의할 수 있는 데이터가 있으므로 쌍대함자는 항등함자와 자기동형이다.

역사[편집]

사무엘 에일렌베르크손더스 매클레인이 1945년에 도입하였다.[1][2] 이 논문은 범주론의 시초로 여겨진다. 이에 대하여 에일렌베르크와 매클레인은 다음과 같이 적었다.

범주를 정의한 이유는 함자를 정의하기 위해서이고, 함자를 정의한 이유는 자연 변환을 정의하기 위해서이다.
[…] “category” has been defined in order to be able to define “functor” and “functor” has been defined in order to be able to define “natural transformation”.
 
[3]:18

참고 문헌[편집]

  1. Eilenberg, Samuel; Saunders Mac Lane (1945년 9월). “General theory of natural equivalences”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 58 (2): 231–294. doi:10.2307/1990284. 
  2. Marquis, Jean-Pierre (2010년 2월 25일). 〈Category theory〉. 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》. Metaphysics Research Lab, Stanford University. 
  3. Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. 

바깥 고리[편집]