단사 가군

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환론에서, 단사 가군(單射加群, 영어: injective module)은 이를 포함하는 모든 가군직합으로 쪼갤 수 있는 가군이다. 가군의 범주에서의 단사 대상이다.

정의[편집]

위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가군을 단사 왼쪽 가군이라고 한다.

  • 임의의 짧은 완전열 분할 완전열이다. 즉, 임의의 위의 왼쪽 가군 에 대하여 이라면, 인 부분 가군 이 존재한다.
  • 는 범주 단사 대상이다. 즉, 함자 완전 함자이다.
  • 임의의 가군 준동형 단사 가군 준동형 에 대하여, 가군 준동형 가 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, 보편 성질이 아니다.)
  • (베어 조건 영어: Baer’s criterion) 임의의 왼쪽 아이디얼 가군 준동형 에 대하여, 가군 준동형 가 존재한다.

마찬가지로, 오른쪽 가군에 대하여 단사 오른쪽 가군을 정의할 수 있다.

성질[편집]

임의의 왼쪽 가군들의 집합 에 대하여, 다음이 동치이다.

  • 직접곱 이 단사 왼쪽 가군이다.
  • 모든 에 대하여 가 단사 왼쪽 가군이다.

유한 개의 가군의 직합직접곱과 같으므로, 위 성질이 성립한다.

배스-파프 정리 영어: Bass–Papp theorem에 따르면, 임의의 환 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.[1]:80–81, Theorem 3.46

  • 왼쪽 뇌터 환이다.
  • 의 왼쪽 단사 가군들의 귀납적 극한은 단사 왼쪽 가군이다.
  • 의 왼쪽 단사 가군들의 임의의 (무한 또는 유한) 직합은 단사 왼쪽 가군이다.
  • 가산 개의 왼쪽 단사 가군들의 직합은 단사 왼쪽 가군이다.

분류[편집]

단사 가군은 데데킨트 정역 또는 보다 일반적으로 뇌터 가환환 위에서 분류될 수 있다.

데데킨트 정역[편집]

데데킨트 정역 위의 모든 단사 가군은 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다. (분해 불가능 가군은 자명하지 않은 가군들의 직합으로 나타낼 수 없는 가군이다.)

데데킨트 정역 에 대하여, 위의 분해 불가능 단사 가군들의 동형류의 집합은 위의 소 아이디얼들의 집합 일대일 대응한다. 구체적으로, 소 아이디얼 에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은 다음과 같다.

  • 만약 일 경우:
  • 만약 일 경우: 분수체

여기서 에서의 국소화이다. 예를 들어, 분수체 의 분해 불가능 단사 가군이며, 영 아이디얼 에 대응한다.

예를 들어, 데데킨트 정역정수환 위의 단사 가군 (=나눗셈군) 가운데 분해 불가능 단사 가군인 것은 다음이 전부이다.

  • 유리수체의 덧셈군
  • 소수 에 대하여, 프뤼퍼 군

모든 나눗셈군은 위 아벨 군들의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

뇌터 가환환[편집]

뇌터 가환환 위의 모든 단사 가군은 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다.

뇌터 가환환 에 대하여, 위의 분해 불가능 단사 가군들의 동형류의 집합은 위의 소 아이디얼들의 집합 일대일 대응한다. 구체적으로, 소 아이디얼 에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은 의 단사 폐포(영어: injective hull, 를 포함하는 가장 작은 단사 가군)이다. 의 단사 폐포는 표준적으로 -가군을 이루며, -가군으로서의 단사 폐포는 -가군으로서의 단사 폐포와 일치한다.

[편집]

자명 가군은 단사 가군이다. 위의 벡터 공간은 단사 가군이다.

정수환 위의 단사 가군은 나눗셈군이라고 한다.

임의의 정역 위에서, 를 포함하는 가장 작은 단사 가군은 분수체 이다. 특히, 가 아닌 정역은 스스로 위의 단사 가군이 아니다.

스스로 위의 가군으로서의 환[편집]

몫환 은 스스로의 가군으로서 단사 가군이다. 보다 일반적으로, 데데킨트 정역 아이디얼 에 대하여 (), 는 스스로 위의 가군으로서 단사 가군이다.

모든 프로베니우스 대수는 스스로 위의 가군으로서 단사 가군이다.

역사[편집]

라인홀트 베어(독일어: Reinhold Baer, 1902~1979)가 1940년에 단사 가군의 개념을 정의하였고, 또 베어 조건을 증명하였다.[2] 이후 단사 가군의 개념은 단사 대상으로 일반화되었다.

참고 문헌[편집]

  1. Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics No. 189 (영어). Springer. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. 
  2. Baer, Reinhold (1940). “Abelian groups that are direct summands of every containing abelian group”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 46 (10): 800–807. MR 0002886. Zbl 0024.14902. doi:10.1090/S0002-9904-1940-07306-9. 

외부 링크[편집]

같이 보기[편집]