분수체

추상대수학에서 분수체(分數體, 영어: field of fractions)는 정역에 대하여 정의할 수 있는 체이다. 예를 들어, 정수환의 분수체는 유리수체다. 일반적인 가환환의 국소화의 특수한 경우다.

정의

(곱셈 항등원을 갖는) 환 $R$ 에 대하여,

S=R\setminus \left(\{r\in R\colon 0\in rR\}\cup \{r\in R\colon 0\in Rr\}\right)

가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, $(R,S)$ 가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, $R$ 의 전분수환(全分數體, 영어: total ring of fractions) $\operatorname {Frac} (R)$ 는 국소화 $S^{-1}R$ 이다. 이 경우, 오레 조건에 의하여 단사 함수인 환 준동형

R\to \operatorname {Frac} R

이 존재하며, $R$ 는 그 전분수환의 부분환을 이룬다.

만약 $R$ 가 가환환일 경우, 오레 조건은 자동적으로 성립한다. 가환환의 국소화는 가환환이므로, 가환환의 전분수환은 항상 가환환이다. 특히, 만약 $R$ 가 (가환) 정역일 경우 이는 체를 이루며, $\operatorname {Frac} R$ 를 $R$ 의 분수체라고 한다.

구성

$R$ 가 정역일 경우, 분수체는 일반적인 국소화보다 간단하게 구성할 수 있다.

순서쌍 $(a,b)$ ( $a,b\in R$ , $b\neq 0$ )들에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

(a,b)\sim (ar,br)\forall r\in R\setminus \{0\}

이러한 순서쌍의 동치류를 $a/b$ 라고 쓰자.

이러한 순서쌍들의 동치류들의 집합에, 다음과 같이 체의 구조를 줄 수 있다.

{\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}

이는 분수체 $\operatorname {Frac} R$ 이며, 표준적인 단사 환 준동형

R\to \operatorname {Frac} R

r\mapsto {\frac {r}{1}}

이 존재한다.

성질

환 $R$ 의 전분수환이 특별한 성질을 가질 충분조건은 다음과 같다.

충분조건	전분수환의 성질	비고
오른쪽 뇌터 반소환	반단순환 (즉, 아르틴-웨더번 정리에 따라 유한 개의 나눗셈환들에 대한 행렬환들의 직접곱과 동형)	골디 정리^[1]
왼쪽 뇌터 반소환	반단순환 (즉, 아르틴-웨더번 정리에 따라 유한 개의 나눗셈환들에 대한 행렬환들의 직접곱과 동형)	골디 정리^[1]
오른쪽 뇌터 소환	나눗셈환 위의 행렬환과 동형	골디 정리^[1]^{: Theorem 7.1}
왼쪽 뇌터 소환	나눗셈환 위의 행렬환과 동형	골디 정리^[1]^{: Theorem 7.1}
가환 뇌터 축소환	가환 반단순환 (즉, 유한 개의 체들의 직접곱과 동형)	^[2]^{: 42, Exercise 6.5}
오른쪽 오레 조건을 만족시키는 영역	나눗셈환
왼쪽 오레 조건을 만족시키는 영역	나눗셈환
정역	체

골디 정리(영어: Goldie’s theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

오른쪽 뇌터 반소환 $R$ $R$ 는 오른쪽 오레 조건을 만족시키며, $\operatorname {Frac} (R)$ $\operatorname {Frac} (R)$ 는 반단순환이다.^[1]
- 특히, 만약 $R$ 가 오른쪽 뇌터 소환이라면 $\operatorname {Frac} (R)$ 는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.
오른쪽 뇌터 반소환은 왼쪽 오레 조건을 만족시키며, $\operatorname {Frac} (R)$ $\operatorname {Frac} (R)$ 는 반단순환이다.
- 특히, 만약 $R$ 가 왼쪽 뇌터 소환이라면 $\operatorname {Frac} (R)$ 는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.

골디 정리에서, 만약 $R$ 가 가환환이라고 한다면, 반소환 조건은 축소환 조건과 같아진다. 가환환의 국소화는 가환환이므로, 만약 $R$ 가 가환 뇌터 축소환인 경우, $\operatorname {Frac} R$ 는 유한 개의 체들의 직접곱이다. 구체적으로, $R$ 의 소 아이디얼 가운데, 포함 관계에 따라 극소 원소인 것을 ${\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}$ 이라고 하자. (그 수는 항상 유한함을 보일 수 있다.) 그렇다면

\operatorname {Frac} (R)\cong \prod _{i=1}^{n}\operatorname {Frac} (R/{\mathfrak {p}}_{i})

이다. 우변에서 $R/{\mathfrak {p}}_{i}$ 는 모두 정역이므로, 우변은 유한 개의 체들의 직접곱이다.

만약 $R$ 가 왼쪽 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시키는 영역이라면, $\operatorname {Frac} (R)$ 는 항상 나눗셈환이며, $R$ 는 그 부분환을 이룬다. (오레 조건 없이는 이는 일반적으로 성립하지 않는다.) 만약 $R$ 가 정역이라면 물론 $\operatorname {Frac} (R)$ 는 체이다.

예

수체 $K$ 의 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{K}$ 의 분수체는 $K$ 이다.

\operatorname {Frac} {\mathcal {O}}_{K}=K

특히, (유리수의) 정수환 $\mathbb {Z} ={\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} }$ 의 분수체는 유리수체이다.

\operatorname {Frac} \mathbb {Z} =\mathbb {Q}

체의 분수체는 스스로이다. 즉, 임의의 체 $K$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

\operatorname {Frac} K=K

다항식환의 분수체는 유리 함수체이다. 즉, 임의의 체 $K$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

\operatorname {Frac} K[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]=K(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})

응용

대수기하학에서, 분수체의 개념은 스킴의 유리 함수층의 개념으로 일반화된다. 만약 스킴이 아핀 정역 스킴인 경우 이는 단순히 각 열린집합에서 단면 가환환의 분수체를 취하는 것이다. 스킴이 정역 스킴이 아닌 경우, 일반적으로는 단순히 전분수환을 취하는 것보다 더 복잡한 구성을 취해야 한다.

역사

1927년에 하인리히 그렐(독일어: Heinrich Grell, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.^[3]^[1]^: 299^[4]^: 57

에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.^[5]^: 300 오레 조건을 만족시키는 영역의 전분수환은 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다.^[6]^: 466^[1]^: 299 (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.^[5]^: 300)

골디 정리는 앨프리드 윌리엄 골디(영어: Alfred William Goldie, 1920~2005)가 도입하였다.^[7]^[8]^[1]

각주

1 2 3 4 5 6 Coutinho, S. C.; McConnell, J. C. (2003년 4월). “The quest for quotient rings (of noncommutative Noetherian rings)” (영어). 《The American Mathematican Monthly》 110 (4): 298–313. doi:10.2307/3647879. JSTOR 3647879.
↑ Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》 2판 (영어). Miles Reid 역. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.
↑ Grell, H. (1927). “Beziehungen zwischen Idealen verschiedener Ringen” (독일어). 《Mathematische Annalen》 97: 490–523. doi:10.1007/BF01447879. ISSN 0025-5831.
↑ Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960.
1 2 Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.
↑ Ore, Oystein (1937년 7월). “Linear equations in non-commutative fields” (영어). 《Annals of Mathematics》 32 (3): 463–477. doi:10.2307/1968245. JSTOR 1968245.
↑ Goldie, A.W. (1958). “The structure of prime rings under ascending chain conditions” (영어). 《Proceedings of the London Mathematical Society》 8 (4): 589–608. doi:10.1112/plms/s3-8.4.589.
↑ Goldie, A.W. (1960). “Semi-prime rings with maximal conditions” (영어). 《Proceedings of the London Mathematical Society》 10: 201–220. doi:10.1112/plms/s3-10.1.201.

Cohn, P. M. (1971년 6월). “Rings of fractions” (PDF) (영어). 《The American Mathematical Monthly》 78 (6): 596–615. doi:10.2307/2316568. JSTOR 2316568. 2016년 3월 7일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 3월 7일에 확인함.

외부 링크

“Field of fractions” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Fractions, ring of” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Field of fractions” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Ring of fractions” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Total ring of fractions” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Field of fractions” (영어). 《nLab》.

[CM-1] 1 2 3 4 5 6 Coutinho, S. C.; McConnell, J. C. (2003년 4월). “The quest for quotient rings (of noncommutative Noetherian rings)” (영어). 《The American Mathematican Monthly》 110 (4): 298–313. doi:10.2307/3647879. JSTOR 3647879.

[2] Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》 2판 (영어). Miles Reid 역. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.

[3] Grell, H. (1927). “Beziehungen zwischen Idealen verschiedener Ringen” (독일어). 《Mathematische Annalen》 97: 490–523. doi:10.1007/BF01447879. ISSN 0025-5831.

[Eisenbud-4] Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960.

[Lam-5] 1 2 Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.

[6] Ore, Oystein (1937년 7월). “Linear equations in non-commutative fields” (영어). 《Annals of Mathematics》 32 (3): 463–477. doi:10.2307/1968245. JSTOR 1968245.

[7] Goldie, A.W. (1958). “The structure of prime rings under ascending chain conditions” (영어). 《Proceedings of the London Mathematical Society》 8 (4): 589–608. doi:10.1112/plms/s3-8.4.589.

[8] Goldie, A.W. (1960). “Semi-prime rings with maximal conditions” (영어). 《Proceedings of the London Mathematical Society》 10: 201–220. doi:10.1112/plms/s3-10.1.201.

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