분수체

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추상대수학에서, 분수체(分數體, 영어: field of fractions)는 정역에 대하여 정의할 수 있는 이다. 예를 들어, 정수환의 분수체는 유리수체다. 일반적인 가환환국소화의 특수한 경우다.

정의[편집]

(곱셈 항등원을 갖는) 에 대하여,

가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, 가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 전분수환(全分數體, 영어: total ring of fractions) 는 국소화 이다. 이 경우, 오레 조건에 의하여 단사 함수환 준동형

이 존재하며, 는 그 전분수환의 부분환을 이룬다.

만약 가환환일 경우, 오레 조건은 자동적으로 성립한다. 가환환국소화가환환이므로, 가환환의 전분수환은 항상 가환환이다. 특히, 만약 가 (가환) 정역일 경우 이는 를 이루며, 분수체라고 한다.

구성[편집]

정역일 경우, 분수체는 일반적인 국소화보다 간단하게 구성할 수 있다.

순서쌍 (, )들에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

이러한 순서쌍의 동치류라고 쓰자.

이러한 순서쌍들의 동치류들의 집합에, 다음과 같이 의 구조를 줄 수 있다.

이는 분수체 이며, 표준적인 단사 환 준동형

이 존재한다.

성질[편집]

의 전분수환이 특별한 성질을 가질 충분조건은 다음과 같다.

충분조건 전분수환의 성질 비고
오른쪽 뇌터 반소환 반단순환 (즉, 아르틴-웨더번 정리에 따라 유한 개의 나눗셈환들에 대한 행렬환들의 직접곱과 동형) 골디 정리[1]
왼쪽 뇌터 반소환
오른쪽 뇌터 소환 나눗셈환 위의 행렬환과 동형 골디 정리[1]:Theorem 7.1
왼쪽 뇌터 소환
가환 뇌터 축소환 가환 반단순환 (즉, 유한 개의 들의 직접곱과 동형) [2]:42, Exercise 6.5
오른쪽 오레 조건을 만족시키는 영역 나눗셈환
왼쪽 오레 조건을 만족시키는 영역
정역

골디 정리(영어: Goldie’s theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

골디 정리에서, 만약 가 가환환이라고 한다면, 반소환 조건은 축소환 조건과 같아진다. 가환환국소화가환환이므로, 만약 가환 뇌터 축소환인 경우, 는 유한 개의 들의 직접곱이다. 구체적으로, 소 아이디얼 가운데, 포함 관계에 따라 극소 원소인 것을 이라고 하자. (그 수는 항상 유한함을 보일 수 있다.) 그렇다면

이다. 우변에서 는 모두 정역이므로, 우변은 유한 개의 들의 직접곱이다.

만약 가 왼쪽 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시키는 영역이라면, 는 항상 나눗셈환이며, 는 그 부분환을 이룬다. (오레 조건 없이는 이는 일반적으로 성립하지 않는다.) 만약 정역이라면 물론 이다.

[편집]

수체 대수적 정수환 의 분수체는 이다.

특히, (유리수의) 정수환 의 분수체는 유리수체이다.

체의 분수체는 스스로이다. 즉, 임의의 체 에 대하여, 다음이 성립한다.

다항식환의 분수체는 유리 함수체이다. 즉, 임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.

응용[편집]

대수기하학에서, 분수체의 개념은 스킴유리 함수층의 개념으로 일반화된다. 만약 스킴이 아핀 정역 스킴인 경우 이는 단순히 각 열린집합에서 단면 가환환의 분수체를 취하는 것이다. 스킴이 정역 스킴이 아닌 경우, 일반적으로는 단순히 전분수환을 취하는 것보다 더 복잡한 구성을 취해야 한다.

역사[편집]

1927년에 하인리히 그렐(독일어: Heinrich Grell, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.[3][1]:299[4]:57

에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.[5]:300 오레 조건을 만족시키는 영역의 전분수환은 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다.[6]:466[1]:299 (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.[5]:300)

골디 정리는 앨프리드 윌리엄 골디(영어: Alfred William Goldie, 1920~2005)가 도입하였다.[7][8][1]

참고 문헌[편집]

  1. Coutinho, S. C.; McConnell, J. C. (2003년 4월). “The quest for quotient rings (of noncommutative Noetherian rings)”. 《The American Mathematican Monthly》 (영어) 110 (4): 298–313. doi:10.2307/3647879. JSTOR 3647879. 
  2. Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 8. Miles Reid 역 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461. 
  3. Grell, H. (1927). “Beziehungen zwischen Idealen verschiedener Ringen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 97: 490–523. doi:10.1007/BF01447879. ISSN 0025-5831. 
  4. Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. 
  5. Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. 
  6. Ore, Oystein (1937년 7월). “Linear equations in non-commutative fields”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 32 (3): 463–477. doi:10.2307/1968245. JSTOR 1968245. 
  7. Goldie, A.W. (1958). “The structure of prime rings under ascending chain conditions”. 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어) 8 (4): 589–608. doi:10.1112/plms/s3-8.4.589. 
  8. Goldie, A.W. (1960). “Semi-prime rings with maximal conditions”. 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어) 10: 201–220. doi:10.1112/plms/s3-10.1.201. 

바깥 고리[편집]