정역

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가환대수학에서 정역(整域, 영어: integral domain)은 영인자가 존재하지 않는, 자명환이 아닌 가환환이다. 정역은 정수환의 일반화이며, 0이 아닌 원소의 역원을 추가하여 분수체를 만들 수 있다.

정의

임의의 환 $R$의 원소 $r\in R$에 대하여, $(r\cdot )\colon R\to R,\;s\mapsto rs$가 단사 함수일 경우 $r$를 정칙원(正則元素, 영어: regular element)이라고 한다.

(곱셈 항등원을 갖는) 가환환 $R$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가환환을 정역이라고 한다.

• $R$는 다음 두 조건을 만족시킨다.
  • (영인자의 부재) 모든 $a,b\in R\setminus \{0\}$에 대하여, $ab\neq 0$이다.
  • (비자명성) $R$는 자명환이 아니다. 즉, $1\neq 0$이다.
• $R\setminus \{0\}$이 곱셈에 대하여 (공집합이 아닌) 가환 모노이드를 이룬다.
• $R$의 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.
• $R$는 체의 부분환과 동형이다.
• $R$는 자명환이 아니며, $R$의 0이 아닌 모든 원소가 정칙원이다.

스킴 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 정역 스킴(整域scheme, 영어: integral scheme, 프랑스어: schéma intègre)이라고 한다.

• $X$는 공집합이 아니며, 공집합이 아닌 모든 아핀 열린집합 $U$에 대하여 $\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})$는 정역이다.^:82
• $X$는 축소 스킴이며 기약 스킴이다.^{:82, Proposition II.3.1}
• $X$는 공집합이 아니며, 모든 $x\in X$에 대하여 줄기 ${\mathcal {O}}_{X,x}$가 정역이며, $X$는 연결 공간이다.^{:66, Exercise 2.4.4}

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

정역의 환의 표수는 0이거나 아니면 소수이다. 양의 표수 $p>0$의 정역의 경우, 프로베니우스 사상 $x\mapsto x^{p}$은 단사 함수이다.

정역의 경우, 항상 분수체를 취할 수 있다.

가환환 $R$ 및 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subset R$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\mathfrak {a}}$가 소 아이디얼이다.
• $R/{\mathfrak {a}}$가 정역이다.

정역의 귀납적 극한은 역시 정역이다.

가환환 $R$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:82, Example II.3.0.1:65}

• $R$는 정역이다.
• 아핀 스킴 $\operatorname {Spec} R$는 정역 스킴이다.

웨더번 정리에 따르면, 모든 유한 정역은 유한체이다.

예

정수환 $\mathbb {Z}$은 정역을 이룬다. 모든 체는 정역을 이룬다. 모든 대수적 수체의 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{K}$은 (데데킨트) 정역이다.

정수환의 몫환 $\mathbb {Z} /(n^{2})$의 경우, $n\neq 0$이지만 $n\cdot n=0$이므로 정역이 아니다.

모든 대수다양체는 정역 스킴이다.

같이 보기

• 영역 (환론)
• 소환 (환론)
• 분수체
• 영인자

참고 문헌

• Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001. 

외부 링크

• “Integral domain”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Integral domain”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Irreducible element”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Definition: Integral Domain”. 《ProofWiki》 (영어). 
  • “Equivalence of Definitions of Integral Domain”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: Irreducible”. 《ProofWiki》 (영어). 2013년 3월 16일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 8월 28일에 확인함. 
• “Definition: Trivial Factorization”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Integral domain”. 《nLab》 (영어). 
• “Integral scheme”. 《nLab》 (영어). 
• “Irreducible element”. 《Commalg》 (영어). 
• “Irreducible element not implies prime”. 《Commalg》 (영어).