소환 (환론)

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환론에서, 소환(素環, 영어: prime ring)은 아이디얼이 곱셈에 대하여 영인자를 갖지 않는 환이다. 정역의 개념의 비가환 일반화의 하나이다.

정의[편집]

임의의 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 소환이라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 만약 이라면 이거나 이다.
  • 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.[1]:158
  • 임의의 두 아이디얼 에 대하여, 만약 이라면 이거나 이다.
  • 임의의 두 왼쪽 아이디얼 에 대하여, 만약 이라면 이거나 이다.
  • 임의의 두 오른쪽 아이디얼 에 대하여, 만약 이라면 이거나 이다.
  • 모든 왼쪽 아이디얼이 왼쪽 충실한 가군이다.
  • 모든 오른쪽 아이디얼이 오른쪽 충실한 가군이다.

성질[편집]

다음 함의 관계가 성립한다.[1]:153

정역
나눗셈환 영역 축소환
左·右 원시환 소환 반소환

가환환의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.

정역
나눗셈환 영역 축소환
左·右 원시환 소환 반소환

소환 중심 정역이다. 따라서, 소환의 표수는 0이거나 소수이다.[1]:168, Exercise 10.0

[편집]

정역 위의 행렬환 은 소환이다.

참고 문헌[편집]

  1. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. 

외부 링크[편집]