정역

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가환대수학에서, 정역(整域, 영어: integral domain)은 영인자가 존재하지 않는, 자명환이 아닌 가환환이다. 정역은 정수환의 일반화이며, 0이 아닌 원소의 역원을 추가하여 분수체를 만들 수 있다.

정의[편집]

임의의 R의 원소 r\in R에 대하여, (r\cdot)\colon R\to R,\;s\mapsto rs단사 함수일 경우 r정칙원(正則元素, 영어: regular element)이라고 한다.

(곱셈 항등원을 갖는) 가환환 R에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가환환을 정역이라고 한다.

  • R는 다음 두 조건을 만족시킨다.
    • (영인자의 부재) 모든 a,b\in R\setminus\{0\}에 대하여, ab\ne0이다.
    • (비자명성) R자명환이 아니다. 즉, 1\ne0이다.
  • R\setminus\{0\}이 곱셈에 대하여 (공집합이 아닌) 가환 모노이드를 이룬다.
  • R의 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.
  • R부분환동형이다.
  • R자명환이 아니며, R의 0이 아닌 모든 원소가 정칙원이다.

스킴 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 정역 스킴(整域scheme, 영어: integral scheme, 프랑스어: schéma intègre)이라고 한다.

기약원[편집]

정역 R의 원소 i\in R가 다음 조건을 만족시킨다면, 기약원(旣約元, 영어: irreducible element)이라고 한다.[3]:284

  • 임의의 r,s\in D에 대하여, 만약 i=rs라면 r 또는 s 가운데 적어도 하나는 가역원이다.

정역에서, 모든 소원은 기약원이지만,[3]:284, Proposition 8.11 그 역은 성립하지 않는다. 다만, 유일 인수 분해 정역에서는 기약원의 개념과 소원의 개념이 일치한다. 예를 들어, 유수가 1이 아닌 대수적 정수환 \mathbb Z[\sqrt{-5}]에서, 3은 기약원이지만 다음과 같이 소원이 아니다.[3]:284

3\mid 9=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt5)
3\nmid2+\sqrt{-5}
3\nmid2-\sqrt{-5}

성질[편집]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역크룰 정역유일 인수 분해 정역데데킨트 정역유일 인수 분해 정역데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역유클리드 정역

정역의 환의 표수는 0이거나 아니면 소수이다. 양의 표수 p>0의 정역의 경우, 프로베니우스 사상 x\mapsto x^p단사 함수이다.

정역의 경우, 항상 분수체를 취할 수 있다.

가환환 R 및 아이디얼 \mathfrak a\subset R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

정역의 귀납적 극한은 역시 정역이다.

가환환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:82, Example II.3.0.1[2]:65

웨더번 정리에 따르면, 모든 유한 정역은 유한체이다.

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정수환 \mathbb Z은 정역을 이룬다. 모든 는 정역을 이룬다. 모든 대수적 수체대수적 정수환 \mathcal O_K은 (데데킨트) 정역이다.

정수환의 몫환 \mathbb Z/(n^2)의 경우, n\ne0이지만 n\cdot n=0이므로 정역이 아니다.

모든 대수다양체는 정역 스킴이다.

참고 문헌[편집]

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  2. Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》 (영어). Oxford Graduate Texts in Mathematics 6. Reinie Erne 역 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 
  3. Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract algebra》 (영어) 3판. Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. MR 2286236. Zbl 1037.00003. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]