정역

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가환대수학에서, 정역(整域, 영어: integral domain)은 영인자가 존재하지 않는, 자명환이 아닌 가환환이다. 정역은 정수환의 일반화이며, 0이 아닌 원소의 역원을 추가하여 분수체를 만들 수 있다.

정의[편집]

임의의 의 원소 에 대하여, 단사 함수일 경우 정칙원(正則元素, 영어: regular element)이라고 한다.

(곱셈 항등원을 갖는) 가환환 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가환환을 정역이라고 한다.

  • 는 다음 두 조건을 만족시킨다.
    • (영인자의 부재) 모든 에 대하여, 이다.
    • (비자명성) 자명환이 아니다. 즉, 이다.
  • 이 곱셈에 대하여 (공집합이 아닌) 가환 모노이드를 이룬다.
  • 의 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.
  • 부분환동형이다.
  • 자명환이 아니며, 의 0이 아닌 모든 원소가 정칙원이다.

스킴 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 정역 스킴(整域scheme, 영어: integral scheme, 프랑스어: schéma intègre)이라고 한다.

  • 는 공집합이 아니며, 공집합이 아닌 모든 아핀 열린집합 에 대하여 는 정역이다.[1]:82
  • 축소 스킴이며 기약 스킴이다.[1]:82, Proposition II.3.1
  • 는 공집합이 아니며, 모든 에 대하여 줄기 가 정역이며, 연결 공간이다.[2]:66, Exercise 2.4.4

성질[편집]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역크룰 정역유일 인수 분해 정역데데킨트 정역유일 인수 분해 정역데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역유클리드 정역

정역의 환의 표수는 0이거나 아니면 소수이다. 양의 표수 의 정역의 경우, 프로베니우스 사상 단사 함수이다.

정역의 경우, 항상 분수체를 취할 수 있다.

가환환 및 아이디얼 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 소 아이디얼이다.
  • 가 정역이다.

정역의 귀납적 극한은 역시 정역이다.

가환환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:82, Example II.3.0.1[2]:65

  • 는 정역이다.
  • 아핀 스킴 는 정역 스킴이다.

웨더번 정리에 따르면, 모든 유한 정역은 유한체이다.

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정수환 은 정역을 이룬다. 모든 는 정역을 이룬다. 모든 대수적 수체대수적 정수환 은 (데데킨트) 정역이다.

정수환의 몫환 의 경우, 이지만 이므로 정역이 아니다.

모든 대수다양체는 정역 스킴이다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. 
  2. Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) 6. Reinie Erne 역 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 

외부 링크[편집]