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모듈러 격자

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순서론에서 모듈러 격자(영어: modular lattice)는 일종의 약한 결합 법칙을 만족시키는 격자이다.

정의

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오각형 격자(영어: pentagon lattice)는 다음과 같은 유계 격자이다.

격자 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 격자를 모듈러 격자라고 한다.

  • (A) 모든 에 대하여, 만약 라면 이다.
  • (B) 모든 에 대하여, 이다.
  • (C) 오각형 격자를 부분 격자로 하지 않는다.[1]:11, Theorem 3.5[2]:89, Theorem 4.10(i)

두 번째 조건은 항등식으로 서술되므로, 모듈러 격자의 모임대수 구조 다양체를 이룬다. 즉, 모듈러 격자의 경우 격자 준동형사상에 대한 · 부분 격자 · 곱 격자 연산에 대하여 닫혀 있다.

증명:

조건 (A) ⇔ 조건 (B). 동치이므로 자명하다.

조건 (A) ⇒ 조건 (C). 오각형 격자

에서,

이다. 따라서, 은 오각형 격자를 부분 격자로 할 수 없다.

조건 (C) ⇒ 조건 (A). 임의의 격자 위에서, 만약 라면, 이다. 이며 이 존재한다고 가정하자.

라고 하자. 그렇다면,

이다. 즉,

이다. 따라서,

의 오각형 부분 격자를 이룬다.

성질

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모든 분배 격자는 모듈러 격자이나, 그 역은 성립하지 않는다. 모든 데자르그 격자(영어: Arguesian lattice)는 모듈러 격자이나, 그 역은 성립하지 않는다.

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환의 아이디얼들의 (포함 관계에 대한) 격자는 분배 격자이며, 따라서 모듈러 격자이다. 환의 가군의 부분가군들의 (포함 관계에 대한) 격자는 모듈러 격자이다.

오각형 격자는 모듈러 격자가 아닌 가장 작은 격자이다.

역사와 어원

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모듈러 항등식은 리하르트 데데킨트아이디얼의 격자 및 부분가군의 격자를 연구하면서 최초로 발견하였다.[3][4] 데데킨트는 격자를 "이중군"(독일어: Dualgruppe)라고 불렀으며, 모듈러 격자를 "가군형 이중군"(독일어: Dualgruppe vom Modultypus 두알그루페 폼 모둘튀푸스[*])이라고 불렀고, 분배 격자를 "아이디얼형 이중군"(독일어: Dualgruppe vom Idealtypus 두알그루페 폼 이데알튀푸스[*])이라고 불렀다. 오늘날 쓰이는 용어 "모듈러 격자"(영어: modular lattice)은 "가군"(영어: module 모듈[*])에서 왔다.

각주

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  1. Burris, Stanley N.; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (1981). 《A course in universal algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 78. Springer. ISBN 978-1-4613-8132-7. ISSN 0072-5285. MR 0648287. Zbl 0478.08001. 2022년 7월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2022년 8월 8일에 확인함. 
  2. Davey, Brian A.; Priestley, Hilary A. (2002). 《Introduction to lattices and order》 (영어) 2판. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1. MR 1902334. Zbl 1002.06001. 
  3. Dedekind, Richard (1897). “Über Zerlegungen von Zahlen Durch Ihre Grössten Gemeinsamen Theiler”. 《Fest-Schrift der Herzoglichen Technischen Hochschule Carolo-Wilhelmina》 (독일어) (Vieweg): 1–40. doi:10.1007/978-3-663-07224-9_1. ISBN 978-3-663-06311-7. JFM 28.0186.04. 
  4. Dedekind, Richard (1900). “Ueber die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 53 (3): 371–403. doi:10.1007/BF01448979. JFM 31.0211.01. 

외부 링크

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