호프 대수

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수학에서, 호프 대수(영어: Hopf algebra)는 곱셈과 쌍대곱셈(comultiplication)이 정의되고, 두 구조가 앤티포드(영어: antipode)라는 연산을 통해 호환되는 결합 대수이다.[1][2][3][4]

정의[편집]

R가 (단위원을 가진) 가환환이라고 하자. R계수를 가진 호프 대수 H는 다음과 같은 구조를 갖춘다.

  • (곱셈 영어: multiplication)
  • (단위원 영어: unit)
  • (쌍대곱셈 영어: comultiplication)
  • (쌍대단위원 영어: counit)
  • (앤티포드 영어: antipode)

이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다. (, )

  • 에 대한 가군이고, 모두 R-선형변환이다.
  • 결합법칙을 만족시키고, 단위원을 갖춘 대수다. 즉,
    • (결합법칙)
    • (단위원의 존재)
  • 은 쌍대결합법칙을 만족시키고, 쌍대단위원을 갖춘 쌍대대수다. 즉,
    • (쌍대결합법칙)
    • (쌍대단위원의 존재)
  • 대수 구조와 쌍대대수 구조가 서로 호환돼, H이중대수(영어: bialgebra)를 이룬다. 즉,
    • (곱셈과 쌍대곱셈의 호환성) . 여기서 이다.
    • (곱셈과 쌍대단위원의 호환성)
    • (쌍대곱셈과 단위원의 호환성)
    • (단위원과 쌍대단위원의 호환성)
  • (앤티포드)

마지막 공리는 다음과 같은 가환 그림(영어: commutative diagram)으로 나타낼 수 있다.

Hopf algebra.svg

역사와 어원[편집]

하인츠 호프의 이름을 땄다.

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조건 쌍대곱 쌍대단위원 앤티포드
군대수 는 임의의 군 Δ(g) = gg ε(g) = 1 S(g) = g−1
텐서 대수 T(V) V는 임의의 벡터 공간 Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x (xV) ε(x) = 0 S(x) = −x (xV)
보편 포락 대수 리 대수 Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x (x) ε(x) = 0 S(x) = −x

응용[편집]

호프 대수의 개념은 이론물리학에서 특수한 대칭을 묘사하기 위하여 사용된다.[5][6]

역사[편집]

호프 대수의 개념은 하인츠 호프가 1941년에 콤팩트 리 군의 코호몰로지를 계산하기 위하여 도입하였다.[7]

참고 문헌[편집]

  1. Dăscălescu, Sorin; Constantin Năstăsescu, Șerban Raianu (2001). 《Hopf Algebras: An introduction》 (영어). Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 235. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-0481-9. MR 1786197. Zbl 0962.16026. 
  2. Sweedler, Moss E. (1969). 《Hopf algebras》 (영어). Mathematics Lecture Note Series. New York: W. A. Benjamin, Inc. MR 0252485. Zbl 0194.32901. 
  3. Karaali, Gizem (2008년 12월 12일). “On Hopf algebras and their generalizations”. 《Communications in Algebra》 (영어) 36 (12): 4341–4367. Bibcode:2007math......3441K. ISSN 0092-7872. MR 2473333. Zbl 1166.16019. arXiv:math/0703441. doi:10.1080/00927870802182424. 
  4. Aschieri, Paolo (2007). “Lectures on Hopf algebras, quantum groups and twists” (영어). Bibcode:2007hep.th....3013A. arXiv:hep-th/0703013. 
  5. Baianu, Ion C.; James F. Glazebrook, Ronald Brown (2009년 4월 23일). “Algebraic topology foundations of supersymmetry and symmetry breaking in quantum field theory and quantum gravity: a review”. 《Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications》 (영어) 5: 51. Bibcode:2009SIGMA...5..051B. ISSN 1815-0659. MR 2506161. Zbl 1160.81300. arXiv:0904.3644. doi:10.3842/SIGMA.2009.051. 
  6. Torrielli, Alessandro (2010). “Review of AdS/CFT integrability, Chapter VI.2: Yangian algebra” (영어). arXiv:1012.4005. 
  7. Hopf, Heinz (1941년 1월). “Über die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen”. 《Annals of Mathematics》 (독일어) 42 (1): 22–52. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968985. doi:10.2307/1968985. 

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]