군환

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추상대수학에서, 군환(群環, 영어: group ring 그룹링[*])은 의 원소로 생성되는 자유 가군이다. 가군의 구조를 가진다.

정의[편집]

집합 S R가 주어졌을 때, S로부터 생성되는 R-자유 가군을 다음과 같이 표기하자.

R[S]=\left\{\sum_{g\in\operatorname{Mor}(\mathcal C)}r_gg\qquad r\in R^G,\;|\{g\in G\colon r_g\ne0\}|<\aleph_0\}\right\}

\mathcal C가 유한 개의 대상(및 유한 또는 무한 개의 사상)을 갖는 작은 범주이며, R이라고 하자. 그렇다면, \mathcal C의 사상의 집합 \operatorname{Mor}(\mathcal C)으로부터 생성되는 R-자유 가군 R[\operatorname{Mor}(\mathcal C)] 위에 다음과 같은 R-선형 곱셈 연산을 줄 수 있다.

f\cdot g=\begin{cases}
g\circ f&\operatorname{dom}g=\operatorname{codom}f\\
0&\operatorname{dom}g\ne\operatorname{codom}f
\end{cases}

즉, 다음과 같다.

(r_1f_1+r_2f_2+\cdots+r_mf_m)\cdot(s_1g_1+s_2g_2+\cdots+s_ng_n)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nr_is_j(f_i\cdot g_j)\qquad\left(r_i,s_j\in R,\;f_i,g_j\in\operatorname{Mor}(\mathcal C)\right)

이 곱셈은 결합 법칙분배 법칙을 따르며, 항등원

1_{R[\mathcal C]}=\sum_{X\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)}\operatorname{id}_X

을 가진다. (만약 \mathcal C가 무한 개의 대상들을 갖는다면, 곱셈 항등원이 존재하지 않게 된다.) 따라서, 이는 을 이루며, 이를 \mathcal C 위의 범주환(영어: category ring)이라고 한다.

특히, 만약 \mathcal C가 하나의 대상만을 갖는다면, 이는 모노이드로 여길 수 있다. 이 경우 범주환을 모노이드 환(영어: monoid ring)이라고 한다. 만약 추가로 \mathcal C이라면, 이 경우 범주환을 군환이라고 한다.

성질[편집]

모노이드 M에 대한 R 계수 모노이드 환은 자연스럽게 (R,R)-쌍가군의 구조를 가진다. 이는 왼쪽 자유 가군이자 오른쪽 자유 가군이다.

R k일 경우, 군환 k[G]벡터 공간을 이룬다. 이 경우, k[G]의 차원은 |G|이다. (이는 G가 무한 반군일 경우에도 하멜 차원(Hamel dimension)으로서 성립한다.)

군의 가군[편집]

G 위의 가군(영어: G-module)은 그 정수 계수의 군환 \mathbb Z[G]가군이다. 이는 군 표현을 일반화한 개념이며, 군 코호몰로지에 쓰인다. 구체적으로, 군의 가군 (M,\rho)아벨 군 M군의 작용 \rho\colon G\times M\to M으로 이루어져 있으며, g\in G, a,b\in M에 대하여 g(a+b)=ga+gb을 만족시킨다.

유한군 G K가 주어졌고, 또

\operatorname{char}K\nmid|G|

라고 하자. (즉, G크기K표수소인수로 갖지 않는다.) 그렇다면 군환 K[G]를 정의할 수 있다. 이는 유한 차원 K-벡터 공간이므로 자명하게 왼쪽 아르틴 환이자 오른쪽 아르틴 환이다. 마슈케 정리(영어: Maschke’s theorem)에 따르면, 군환 K[G]반단순환이다. 즉, 모든 왼쪽 또는 오른쪽 K[G]-가군은 반단순 가군이다.

이는 하인리히 마슈케(영어: Heinrich Maschke, 1853~1908)가 증명하였다.[1][2]

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다항식환[편집]

자연수의 덧셈 모노이드 (\mathbb N,+)를 생각하자. 이는 곱셈 표기법으로 \{1,x,x^2,x^3,\dots\}로 적을 수 있다. 임의의 환 R에 대하여, 모노이드 환 R[\mathbb N]다항식환 R[x]와 같다.

마찬가지로, 무한 순환군 \operatorname{Cyc}(\infty)=\{\dots,x^{-2},x^{-1},1,x,x^2,\dots\} 위의 군환은 다음과 같다.

R[\operatorname{Cyc}(\infty)]\cong R[x,x^{-1}]=R[x,y]/(xy-1)

마찬가지로, 유한 순환군 \operatorname{Cyc}(n)=\{1,x,x^2,\dots,x^{n-1}\} 위의 군환은 다음과 같다.

R[\operatorname{Cyc}(n)]\cong R[x]/(x^n)

행렬환[편집]

집합 S에 대하여, 순서쌍 준군 \operatorname{Pair}(S)는 다음과 같은 준군이다.

  • 대상은 S의 원소이다. 즉, 대상 집합은 S이다.
  • 임의의 두 대상 s,t\in S에 대하여 유일한 사상 (s,t)\colon s\to t이 존재한다. 따라서, 사상 집합은 순서쌍으로 구성된 곱집합 S\times S로 생각할 수 있다.

만약 S가 크기 n유한 집합일 때, 임의의 환 R에 대하여 준군환 R[\operatorname{Pair}(S)]는 행렬환 \operatorname{Mat}(n;R)와 동형이다.

함수환[편집]

유한 집합 S 위의 이산 범주 (모든 사상이 항등 사상인 범주) 위의 범주환 R[S]S 위의 R 값의 함수들의 환 S^R이다.

참고 문헌[편집]

  • Passman, D. S. (1976년 3월). “What is a group ring?” (PDF). 《American Mathematical Monthly》 (영어): 173–185. doi:10.2307/2977018. JSTOR 2977018. Zbl 0318.16002. 
  • Gilmer, R. (1984). 《Commutative semigroup rings》 (영어). University of Chicago Press. 
  • Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). 《An introduction to group rings》. Algebras and applications (영어) 1. Springer. ISBN 978-1-4020-0238-0. 
  • Passman, D. S. (1977). 《The algebraic structure of group rings》 (영어). Wiley. 

바깥 고리[편집]