군 코호몰로지

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추상대수학에서, 군 코호몰로지(群cohomology, 영어: group cohomology)는 위에 정의되는 코호몰로지 이론이다.

정의[편집]

군 코호몰로지는 유도 함자의 개념 또는 Ext 함자·Tor 함자를 사용하여 추상적으로 정의할 수 있으며, 또한 구체적으로 공사슬을 사용하여 정의할 수도 있다.

유도 함자를 통한 정의[편집]

군 코호몰로지는 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자로, 군 호몰로지는 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로 정의할 수 있다.

구체적으로, 가 주어졌다고 하자. 의 (왼쪽) 가군들의 범주 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주이다.

다음과 같은 함자를 정의하자.

즉, 이는 가군을 그 불변량으로 구성된 아벨 군으로 대응시킨다.

왼쪽 완전 함자이다. 그 번째 오른쪽 유도 함자군 코호몰로지라고 한다.

마찬가지로, 다음과 같은 함자를 정의하자.

여기서

로부터 생성되는 부분 가군이다. 즉, 쌍대 불변량(영어: coinvariant)으로 구성된다.

오른쪽 완전 함자이다. 그 번째 왼쪽 유도 함자군 호몰로지라고 한다.

Ext와 Tor를 통한 정의[편집]

군 코호몰로지는 군환에 대한 Ext 함자의 특별한 경우이며, 군 호몰로지는 군환에 대한 Tor 함자의 특별한 경우이다.

구체적으로, -가군 이 주어졌을 때, 계수의 군 코호몰로지는 다음과 같은 Ext 함자이다.

마찬가지로, 계수의 군 호몰로지는 다음과 같은 Tor 함자이다.

구체적 정의[편집]

이고 -가군이라고 하자. 양의 정수 에 대하여, 공사슬(영어: cochain)을 함수로 정의하고, 차 공사슬의 집합을 으로 쓰자. 이는 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. (여기서 은 군의 직접곱 이다.)

공경계 준동형(영어: coboundary homomorphism) 을 다음과 같이 정의하자.

이렇게 정의하면

임을 알 수 있다. 따라서 공사슬 복합체를 이루며, 이에 따라

과 같이 코호몰로지 군 을 정의할 수 있다. 이를 계수를 가진 군 코호몰로지라고 한다.

성질[편집]

0차 군 코호몰로지 작용에 대하여 불변인 원소들의 군이다. 즉

이다. 이는 라고도 쓴다.

위의 작용이 이 자명하다고 가정하자. 그렇다면 낮은 차수의 군 코호몰로지는 다음과 같이 해석할 수 있다.

  • 0차 군 코호몰로지 이다.
  • 1차 군 코호몰로지 으로의 군 준동형사상들을 분류한다.
  • 2차 군 코호몰로지 아벨 군 에 대한 확대들을 분류한다.

위상 코호몰로지와의 관계[편집]

만약 위의 작용이 자명하다면, 군 코호몰로지는 (이산 위상을 부여한 위상군으로서의) 분류 공간 특이 코호몰로지와 동형이다.

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자유군[편집]

개의 원소로 생성되는 자유군 을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

순환군[편집]

순환군 을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

여기서 -꼬임 부분군이다.

이는 순환군분류 공간특이 호몰로지와 같다. 특히, 일 경우 이는 무한 차원 실수 사영 공간 특이 호몰로지이다.

자유 아벨 군[편집]

자유 아벨 군 을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

여기서 이항 계수이다. 이는 자유 아벨 군분류 공간원환면 특이 호몰로지와 같다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]