군 코호몰로지

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추상대수학에서, 군 코호몰로지(group cohomology)는 위에 정의되는 코호몰로지이다.

정의[편집]

G이고 MG-가군(G작용하는 아벨 군)이라고 하자. 양의 정수 n에 대하여, n공사슬(cochain)을 G^n\to M 함수로 정의하고, n차 공사슬의 집합을 C^n(G,M)으로 쓰자. 이는 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. (여기서 G^nG\times G\times\dotsb\times G이다.)

공경계 준동형사상(coboundary homomorphism) d^n\colon C^n(G,M)\to C^{n+1}(G,M)를 다음과 같이 정의하자.

 \left(d^n\varphi\right)(g_0,\dots,g_n) = g_0\cdot \varphi(g_1,\dots,g_n)
 {} + \sum_{i=1}^n (-1)^{i} \varphi(g_0,\dots,g_{i-2},g_{i-1}g_i,g_{i+1},\dots,g_n)
 {} + (-1)^{n+1} \varphi(g_0,\dots,g_{n-1})

이렇게 정의하면

d^{n+1}\circ d^n=0

임을 알 수 있다. 따라서 C^n공사슬 복합체를 이루며, 이에 따라

H^n=\ker d^n/\operatorname{im}d^{n-1}

과 같이 코호몰로지H^n(G,M)을 정의할 수 있다. 이를 M계수를 가진 G군 코호몰로지라고 한다.

유도 함자의 개념을 사용하면 군 코호몰로지를 보다 더 간단하게 정의할 수 있다. 이 경우 H^nH^0의 유도 함자들이다.

성질[편집]

0차 군 코호몰로지 H^0(G,M)G작용에 대하여 불변인 원소들의 군이다. 즉

H^0(G,M)=\{m\in M|gm=m\forall g\in G\}

이다. 이는 M^G라고도 쓴다.

M 위의 G작용이 이 자명하다고 가정하자. 그렇다면 낮은 차수의 군 코호몰로지는 다음과 같이 해석할 수 있다.

  • 0차 군 코호몰로지 H^0(G;M)M이다.
H^0(G;M)\cong M
  • 1차 군 코호몰로지 H^1(G;M)M으로의 군 준동형사상들을 분류한다.
H^1(G;M)\cong\hom(G,M)
  • 2차 군 코호몰로지 H^1(G;M)GM에 대한 확대들을 분류한다.

위상 코호몰로지와의 관계[편집]

군 코호몰로지는 (이산위상을 부여한 위상군으로서의) 분류공간의 위상수학적 코호몰로지(특이 코호몰로지 등)와 동형이다. 즉,

H^k(G;M)=H_\text{sing}^k(BG;M)

이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]