군 코호몰로지

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추상대수학에서, 군 코호몰로지(群cohomology, 영어: group cohomology)는 위에 정의되는 코호몰로지 이론이다.

정의[편집]

군 코호몰로지는 유도 함자의 개념 또는 Ext 함자·Tor 함자를 사용하여 추상적으로 정의할 수 있으며, 또한 구체적으로 공사슬을 사용하여 정의할 수도 있다.

유도 함자를 통한 정의[편집]

군 코호몰로지는 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자로, 군 호몰로지는 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로 정의할 수 있다.

구체적으로, G가 주어졌다고 하자. \mathbb Z[G]의 (왼쪽) 가군들의 범주 \mathbb Z[G]\text{-Mod}단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주이다.

다음과 같은 함자를 정의하자.

(-)^G\colon\mathbb Z[G]\text{-Mod}\to\operatorname{Ab}
(-)^G\colon M\mapsto M^G=\bigcap_{g\in G}\ker(1-g)=\{m\in M\colon\forall g\in M\colon(1-g)m=0\}

즉, 이는 가군을 그 불변량으로 구성된 아벨 군으로 대응시킨다.

(-)^G왼쪽 완전 함자이다. 그 n번째 오른쪽 유도 함자Gn군 코호몰로지라고 한다.

\operatorname H^n(G;-)=\operatorname R^n(-)^G

마찬가지로, 다음과 같은 함자를 정의하자.

(-)_G\colon\mathbb Z[G]\text{-Mod}\to\operatorname{Ab}
(-)_G\colon M\mapsto M/DM

여기서 DM

\bigcup_{g\in G}(1-g)M

로부터 생성되는 부분 가군이다. 즉, M_GM쌍대 불변량(영어: coinvariant)으로 구성된다.

(-)_G오른쪽 완전 함자이다. 그 n번째 왼쪽 유도 함자Gn군 호몰로지라고 한다.

\operatorname H_n(G;-)=\operatorname L^n(-)_G

Ext와 Tor를 통한 정의[편집]

군 코호몰로지는 군환에 대한 Ext 함자의 특별한 경우이며, 군 호몰로지는 군환에 대한 Tor 함자의 특별한 경우이다.

구체적으로, G\mathbb Z[G]-가군 M이 주어졌을 때, GM 계수의 군 코호몰로지는 다음과 같은 Ext 함자이다.

H^n(G;M) = \operatorname{Ext}^n_{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)

마찬가지로, GM 계수의 군 호몰로지는 다음과 같은 Tor 함자이다.

H_n(G;M) = \operatorname{Tor}_n^{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)

구체적 정의[편집]

G이고 M\mathbb Z[G]-가군이라고 하자. 양의 정수 n에 대하여, n공사슬(영어: cochain)을 G^n\to M 함수로 정의하고, n차 공사슬의 집합을 C^n(G,M)으로 쓰자. 이는 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. (여기서 G^n은 군의 직접곱 G\times G\times\dotsb\times G이다.)

공경계 준동형(영어: coboundary homomorphism) d^n\colon C^n(G,M)\to C^{n+1}(G,M)을 다음과 같이 정의하자.

 \left(d^n\varphi\right)(g_0,\dots,g_n) = g_0\cdot \varphi(g_1,\dots,g_n)
 {} + \sum_{i=1}^n (-1)^{i} \varphi(g_0,\dots,g_{i-2},g_{i-1}g_i,g_{i+1},\dots,g_n)
 {} + (-1)^{n+1} \varphi(g_0,\dots,g_{n-1})

이렇게 정의하면

d^{n+1}\circ d^n=0

임을 알 수 있다. 따라서 C^n공사슬 복합체를 이루며, 이에 따라

\operatorname H^n=\ker d^n/\operatorname{im}d^{n-1}

과 같이 코호몰로지 군 \operatorname H^n(G;M)을 정의할 수 있다. 이를 M계수를 가진 Gn군 코호몰로지라고 한다.

성질[편집]

0차 군 코호몰로지 \operatorname H^0(G,M)G작용에 대하여 불변인 원소들의 군이다. 즉

H^0(G,M)=\{m\in M|gm=m\forall g\in G\}

이다. 이는 M^G라고도 쓴다.

M 위의 G작용이 이 자명하다고 가정하자. 그렇다면 낮은 차수의 군 코호몰로지는 다음과 같이 해석할 수 있다.

  • 0차 군 코호몰로지 \operatorname H^0(G;M)M이다.
    \operatorname H^0(G;M)\cong M
  • 1차 군 코호몰로지 \operatorname H^1(G;M)M으로의 군 준동형사상들을 분류한다.
    \operatorname H^1(G;M)\cong\hom(G,M)
  • 2차 군 코호몰로지 \operatorname H^1(G;M)G아벨 군 M에 대한 확대들을 분류한다.

위상 코호몰로지와의 관계[편집]

만약 GM 위의 작용이 자명하다면, 군 코호몰로지는 (이산 위상을 부여한 위상군으로서의) 분류 공간 BG특이 코호몰로지와 동형이다.

\operatorname H^k(G;M)=\operatorname H_\text{sing}^k(BG;M)

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자유군[편집]

k개의 원소로 생성되는 자유군 F_k을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 M에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

\operatorname H^n(F_k;M)=\operatorname H_n(F_k;M)=\begin{cases}
M&n=0\\
M^{\oplus k}&n=1\\
0&n>1
\end{cases}

순환군[편집]

k순환군 \operatorname{Cyc}(k)을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 M에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

\operatorname H^n(\operatorname{Cyc}(k);M)=\operatorname H_n(\operatorname{Cyc}(k);M)=\begin{cases}
M&n=0\\
(\ker n)\subseteq M&2\nmid n\\
M/nM&2\mid n>0\\
\end{cases}

여기서 \ker n=\{m\in M\colon nm=0\}Mn-꼬임 부분군이다.

이는 순환군분류 공간\mathbb S^\infty/\operatorname{Cyc}(k)특이 호몰로지와 같다. 특히, k=2일 경우 이는 무한 차원 실수 사영 공간 \operatorname{RP}^\infty특이 호몰로지이다.

자유 아벨 군[편집]

k자유 아벨 군 \mathbb Z^{\oplus k}을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 M에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

\operatorname H^n(\mathbb Z^{\oplus k};M)=\operatorname H_n(\mathbb Z^{\oplus k};M)=M^{\oplus\binom kn}

여기서 \textstyle\binom kn이항 계수이다. 이는 자유 아벨 군분류 공간원환면 \mathbb T^k특이 호몰로지와 같다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]