호몰로지 대수학에서 왼쪽 유도 함자(-誘導函子, 영어: left derived functor)와 오른쪽 유도 함자(-誘導函子, 영어: right derived functor)는 각각 오른쪽 완전 함자 또는 왼쪽 완전 함자가 왼쪽 또는 오른쪽에서 완전하지 못한 정도를 측정하는 함자이다.[1]
유도 함자의 개념은 원래 단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주의 대상에 대하여 정의되었다. 이 정의는 아벨 범주의 대상 대신 그 속의 사슬 복합체에 대하여 일반화할 수 있으며, 하나의 대상에 대한 유도 함자는 하나의 성분만을 가지는 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 사슬 복합체에 대하여 정의된 유도 함자는 초유도 함자(超誘導函子, 영어: hyperderived functor) 또는 초코호몰로지(超cohomology, 영어: hypercohomology)라고 한다. 초유도 함자의 값은 사슬 복합체의 유사동형에 의존하지 않으며, 따라서 자연스럽게 유도 범주 위에 정의된다.
사슬 복합체의 범주는 자연스럽게 모형 범주를 이루며, 초유도 함자의 개념을 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다.
단사 · 사영 분해를 통한 정의[편집]
단사 분해[편집]
단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주
에서, 임의의 대상
에 대하여 단사 분해, 즉 다음과 같은 꼴의 긴 완전열이 존재한다.
![{\displaystyle 0\to A\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a085fecf5413a74a67d2bdb4476cf888f156506c)
여기서
는 단사 대상으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체이다. 이러한 긴 완전열을 대상
의 단사 분해(영어: injective resolution)이라고 한다. 단사 분해는 유일하지 않을 수 있다. 단사 분해는 다음과 같은 꼴의, 단사 대상으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체의 유사동형과 같다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &A&\to &0&\to &0&\to &\cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &I^{0}&\to &I^{1}&\to &I^{2}&\to &\cdots \end{matrix}}\qquad \operatorname {H} ^{i}(I)={\begin{cases}A&i=0\\0&i>0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1584f891f17c3f460695c2ebe28c64c22bf916aa)
단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주
와 아벨 범주
및 그 사이의 왼쪽 완전 함자
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의 대상
에 대하여, 그 (임의의) 단사 분해의
에 대한 상을 생각하자.
![{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &F(A)&\to &0&\to &0&\to &\cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &F(I^{0})&\to &F(I^{1})&\to &F(I^{2})&\to &\cdots \end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33d5fbbf564374bcdd6b0f9e6bdcc055b06760b2)
는 두 행의 유사동형을 보존하지 않는다. 즉,
는 완전열이었지만,
은 더 이상 완전열이 아니다.
의 코호몰로지를
의 오른쪽 유도 함자의 값으로 정의한다.
![{\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ch} _{\leq 0}^{\bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49e189912105eab2a72d06b90e3bb98f719fdde5)
![{\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F(A)=\operatorname {H} ^{\bullet }(F(I))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52eb355198c5ee337f6d7fa6cefcfeb3542ef6a8)
특히,
이다.
보다 일반적으로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주
속의 자연수 차수 공사슬 복합체
가 주어졌을 때, 항상 단사 대상으로 구성된 유사동형 공사슬 복합체를 찾을 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &A^{0}&\to &A^{1}&\to &A^{2}&\to &\cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &I^{0}&\to &I^{1}&\to &I^{2}&\to &\cdots \end{matrix}}\qquad \operatorname {H} ^{i}(I)=\operatorname {H} ^{i}(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5528f76f47950325514fcf785a9361309eaceb6)
이를 공사슬 복합체
의 단사 분해라고 한다. 하나의 대상의 단사 분해는 0차 성분만을 가진 공사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 임의의 공사슬 복합체
에 대하여, 왼쪽 완전 함자
는 두 행의 유사동형을 일반적으로 보존하지 않는다.
의 오른쪽 초유도 함자(영어: right hyperderived functor)의 값은
의 단사 분해
의 상
의 코호몰로지이다.
![{\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F\colon \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }(F)\to \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {B}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6345e027827a198b4304693f80b0f25a8865431)
![{\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F(A)=\operatorname {H} ^{\bullet }(F(A))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fb4b30dbc84f26ce9b4bf17569efebdf077897)
서로 다른 단사 분해를 사용하면, 자연 동형 오른쪽 유도 함자를 얻으며, 따라서 오른쪽 유도 함자는 단사 분해의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 오른쪽 유도 함자
는 가법 함자임을 보일 수 있다.
사영 분해[편집]
단사 대상 대신, 사영 대상을 사용해 오른쪽 완전 함자
의 왼쪽 유도 함자(영어: left derived functor)
도 유사하게 정의할 수 있다.
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주
에서, 대상
의 사영 분해(영어: projective resolution)
를 생각하자.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &P_{2}&\to &P_{1}&\to &P_{0}&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &0&\to &0&\to &A&\to &0\\\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} _{i}(I)={\begin{cases}A&i=0\\0&i>0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eab7b25df107d8542fc6c042c5ebcf7b913074a)
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주
와 아벨 범주
및 그 사이의 오른쪽 완전 함자
의 왼쪽 유도 함자
는
의 사영 분해의 상의 호몰로지이다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &F(P_{2})&\to &F(P_{1})&\to &F(P_{0})&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &0&\to &0&\to &F(A)&\to &0\\\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} _{i}(F(P_{\bullet }))=\operatorname {L} _{i}F(P_{\bullet })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ee138c3a54c40c93ef25211819bbdd052614a13)
![{\displaystyle \operatorname {L} _{\bullet }F\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {B}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cdd1dcf39eafa40b6292e798a5cdfafea8be17d)
보다 일반적으로, 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주
속의 자연수 차수 사슬 복합체
가 주어졌을 때, 항상 사영 대상으로 구성된 유사동형 사슬 복합체를 찾을 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &P_{2}&\to &P_{1}&\to &P_{0}&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &A_{2}&\to &A_{1}&\to &A_{0}&\to &0\\\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} _{i}(I_{\bullet })=\operatorname {H} _{i}(A_{\bullet })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8e35cc6dcf96f369dafb481f82b524a71f6dd3)
이를 사슬 복합체
의 사영 분해라고 한다. 하나의 대상의 사영 분해는 0차 성분만을 가진 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다.
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주
와 아벨 범주
및 그 사이의 오른쪽 완전 함자
의 왼쪽 초유도 함자(영어: left hyperderived functor)
![{\displaystyle \operatorname {L} _{\bullet }F\colon \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}{\mathcal {A}}\to \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {B}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e37e10ff7c70582e89c4cdfa374c9da2436c3a2)
는
의 사영 분해의 상의 호몰로지이다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &F(P_{2})&\to &F(P_{1})&\to &F(P_{0})&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &F(A_{2})&\to &F(A_{1})&\to &F(A_{0})&\to &0\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} _{i}(F(P_{\bullet }))=\operatorname {L} _{i}F(P_{\bullet })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9f0b98ce6e910fb7122ccdbe144e72e2e8b802)
모형 범주를 통한 정의[편집]
단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 위의 (공)사슬 복합체의 범주는 모형 범주를 이루며, 그 위의 유도 함자의 정의는 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다. 이 경우 단사·사영 분해는 (적절한 모형 범주 구조에 대한) (쌍대)올 분해에 대응한다.
모형 범주
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 호모토피 범주로 가는 충실한 함자
![{\displaystyle {\mathcal {M}}\to \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7293a3e91e6741a85f277684a46cbde6a71a68b)
가 존재한다. 이 함자는 모형 범주
의 약한 동치 사상을 호모토피 범주
의 동형 사상으로 대응시킨다.
모형 범주에서 올뭉치를
, 쌍대올뭉치를
, 약한 동치를
로 표기하자. 시작 대상은
이며, 끝 대상은
로 표기하자.
올 분해[편집]
모형 범주
에서 범주
로 가는 함자
가
의 올대상 사이의 약한 동치를
의 동형 사상으로 보낸다고 하자.
임의의 대상
에 대하여, 그 올분해(영어: fibrant resolution)
![{\displaystyle A{\xrightarrow {\sim }}I\twoheadrightarrow \{\bullet \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a39f1054647c29730646cbc971522fbb35b331)
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의 오른쪽 초유도 함자
는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {R} F\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})\to {\mathcal {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ec1750c4c02cde06c12aa4188318f21b7d4001)
![{\displaystyle \operatorname {R} F\colon A\mapsto F(I)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47334be83bfb5ce07c26d4390790909392a36675)
이 함자는 약한 동치를 동형 사상으로 대응시키므로, 자연스럽게 호모토피 범주
위에 정의된다.
공사슬 복합체 |
모형 범주
|
공사슬 복합체 범주 ![{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed286185b9a7cf97eb9a2b67ff0be2172e6f8e5a) |
모형 범주
|
공사슬 복합체 범주의 유도 범주 ![{\displaystyle \operatorname {D} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a157e864aee790d732d2735afe1b4e96c4f60c07) |
모형 범주의 호모토피 범주
|
유도 범주 ![{\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {B}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa41afef1360b07412fe40b406665590076c6129) |
범주
|
오른쪽 완전 함자 로부터 정의된 함자 ![{\displaystyle F^{*}\colon \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47f1dadde7223dd76c8ea611c743d7c276140a13) |
함자
|
단사 대상으로 구성된 공사슬 복합체 ![{\displaystyle I^{\bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60aacb904174201481a5f2f2680f4df994b538bf) |
올 대상
|
단사 분해 ![{\displaystyle A^{\bullet }\to I^{\bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a9bf10f812c681ea0b1a1ea9b83bc1c161c24f) |
올 분해
|
오른쪽 초유도 함자 ![{\displaystyle \operatorname {R} F\colon \operatorname {D} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4293bf3ac5a260612676b72aaa8f1f202ddaed4f) |
오른쪽 초유도 함자
|
쌍대올 분해[편집]
모형 범주
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 호모토피 범주로 가는 충실한 함자
![{\displaystyle {\mathcal {M}}\to \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7293a3e91e6741a85f277684a46cbde6a71a68b)
가 존재한다.
모형 범주
에서 범주
로 가는 함자
가
의 쌍대올대상 사이의 약한 동치를
의 동형 사상으로 보낸다고 하자.
임의의 대상
에 대하여, 그 쌍대올분해
![{\displaystyle \varnothing \hookrightarrow Q\to A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2476c7fafaaa792fca0c229e594e528222090d4b)
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의 왼쪽 초유도 함자
는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {L} F\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})\to {\mathcal {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd389be4015503bea0fa3e80769ce7a7537c894e)
![{\displaystyle \operatorname {L} F\colon A\mapsto F(Q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f28a5928cccb3c828b798fc0409859964eb92389)
사슬 복합체 |
모형 범주
|
사슬 복합체 범주 ![{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {A}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df3130c1b73ecd1e3e747a208b10a61d7c5f58a) |
모형 범주
|
사슬 복합체 범주의 유도 범주 ![{\displaystyle \operatorname {D} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {A}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ba9daa77a8c5fc1eeef979b3fc12aca9c531ba1) |
모형 범주의 호모토피 범주
|
유도 범주 ![{\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {B}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa41afef1360b07412fe40b406665590076c6129) |
범주
|
오른쪽 완전 함자 로부터 정의된 함자 ![{\displaystyle F^{*}\colon \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30ebcf6d08fc88e39c7842b16d61909d3139960) |
함자
|
사영 대상으로 구성된 사슬 복합체 ![{\displaystyle P_{\bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9670886a1fc18e3dae785ae0e07d1049bf7dece1) |
쌍대올 대상
|
사영 분해 ![{\displaystyle P_{\bullet }\to A_{\bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e3bd33e1453e3eafc7432e1ef7a9bad59fd273) |
쌍대올 분해
|
왼쪽 초유도 함자 ![{\displaystyle \operatorname {L} F\colon \operatorname {D} _{\bullet }^{\geq 0}\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cfae6bb7407ba0e8f414705a66b94eefcc4d517) |
왼쪽 초유도 함자
|
칸 확대를 통한 정의[편집]
모형 범주에서는 약한 동치의 모임이 주어진다. 모형 범주에 존재하는 추가 구조 (올뭉치 · 쌍대올뭉치)는 유도 함자를 구체적으로 구성하는 데 간편하지만, 유도 함자를 정의하는 데 필요하지 않다. 따라서, 약한 동치가 주어진 범주에 대하여 유도 함자를 칸 확대의 개념을 사용하여 일반적으로 정의할 수 있다.[2]
약한 동치의 모임이 주어진 범주
및 함자
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 약한 동치들에 대한 국소화를 가하여 (범주론적인 문제를 무시하면) 호모토피 범주
및 포함 함자
를 정의할 수 있다. 그렇다면,
의 왼쪽 유도 함자
는 (만약 존재한다면)
의
에 대한 오른쪽 칸 확대이다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {C}}&{\overset {F}{\to }}&{\mathcal {D}}\\\downarrow &\!\!\!\!{\color {White}_{\mathrm {L} F}}\nearrow _{\mathrm {L} F}\!\!\!\!\\\!\!\!\!\operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\!\!\!\!\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6230bc62d68e0639be89efbae99b5145877bd12)
오른쪽 칸 확대의 보편 성질에 따라서, 임의의 대상
에 대하여 자연 변환의 성분
이 존재한다. 모형 범주의 경우, 이 사상은
의 쌍대올 분해
의 상
이다.
마찬가지로,
의 오른쪽 유도 함자
는 (만약 존재한다면)
의
에 대한 왼쪽 칸 확대이다. 왼쪽 칸 확대의 보편 성질에 따라서, 임의의 대상
에 대하여 자연 변환의 성분
이 존재한다. 모형 범주의 경우, 이 사상은
의 올 분해
의 상
이다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {C}}&{\overset {F}{\to }}&{\mathcal {D}}\\\downarrow &\!\!\!\!{\color {White}_{\mathrm {L} F}}\nearrow _{\mathrm {L} F}\!\!\!\!\\\!\!\!\!\operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\!\!\!\!\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6230bc62d68e0639be89efbae99b5145877bd12)
원래 함자
는 왼쪽 완전 함자라고 가정하였으므로, 단사 분해의 처음 부분
![{\displaystyle 0\to X^{0}\to I^{0}\to I^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a8052f066a4e905d96eaa91c5dc168314f706ac)
의 상
![{\displaystyle 0\to F(X^{0})\to F(I^{0})\to F(I^{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd5608ebf2f76734508bbb1da2c7cfbb28279f8)
은 완전열이다. 따라서,
은 단사 사상이며,
![{\displaystyle \operatorname {R} ^{0}F(X)=\ker(F(I^{0})\to F(I^{1}))=\operatorname {im} (F(X)\to F(I^{0}))\cong F(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc2197449a719716fe8426a729e39deefdf795c)
이다. 따라서, 0차 유도 함자는 원래 함자와 자연 동형이다. 즉,
이다.
만약
가 단사 대상이라면, 단사 분해를
![{\displaystyle 0\to X\to X\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6480a5c2fb06583339a4e59aabaa360970a753b9)
으로 취할 수 있다. 이 경우, 단사 분해의 상
![{\displaystyle 0\to F(X)\to F(X)\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92c7a8f87d3d6f48c08b6e55f83cbe6be31fbb4)
의 호몰로지는 자명하다. 즉, 모든
에 대하여
이고, 단사 대상의 유도 함자에 대한 상은 항상 0이다.
긴 완전열[편집]
왼쪽 완전 함자
및
의 짧은 완전열
![{\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183430a88117f1e77462cf34d4f84b2a353e81e1)
이 주어졌을 때, 뱀 보조정리에 따라서 다음과 같은 긴 완전열이 발생한다.
![{\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to \operatorname {R} ^{1}F(A)\to \operatorname {R} ^{1}F(B)\to \operatorname {R} ^{1}F(C)\to \operatorname {R} ^{2}F(A)\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428f7c5405c6c25481c783916b32663c2f6f8e67)
마찬가지로, 오른쪽 완전 함자
및
의 짧은 완전열
![{\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183430a88117f1e77462cf34d4f84b2a353e81e1)
이 주어졌을 때, 뱀 보조정리에 따라서 다음과 같은 긴 완전열이 발생한다.
![{\displaystyle \cdots \to \operatorname {L} _{2}F(C)\to \operatorname {L} _{1}F(A)\to \operatorname {L} _{1}F(B)\to \operatorname {L} _{1}F(C)\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ebd8a4918515a06ca3e184e81da18cc8cf1d22e)
흔히 쓰이는 많은 호몰로지 및 코호몰로지 이론들은 유도 함자로서 정의할 수 있다.
적용 대상 |
함자 |
완전성 방향 |
유도 함자
|
위상 공간 ![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab) |
아벨 군층의 단면 ![{\displaystyle \Gamma (-,X)\colon \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Ab} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3c959a3f2bf319bd85c40ad7a069306e520469) |
왼쪽 완전 함자 |
층 코호몰로지
|
환 의 왼쪽 가군 ![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3) |
가군 준동형 군 ![{\displaystyle \hom(A,-)\colon R{\text{-Mod}}\to \operatorname {Ab} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a9e329a8a216379d65556642f4698ca1f51188) |
왼쪽 완전 함자 |
Ext 함자
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환 의 왼쪽 가군 ![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3) |
텐서곱 ![{\displaystyle \otimes A\colon {\text{Mod-}}R\to \operatorname {Ab} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212f08464dcc2bd490dde9c17a7f07de61daa1c2) |
오른쪽 완전 함자 |
Tor 함자
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군 ![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b) |
가군의 불변원 ![{\displaystyle (-)^{G}\colon \mathbb {Z} [G]{\text{-Mod}}\to \operatorname {Ab} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2bd5033a676fe8c0cb4fb52040535c61c5b294) |
왼쪽 완전 함자 |
군 코호몰로지
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군 ![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b) |
가군의 쌍대불변원 ![{\displaystyle (-)_{G}\colon \mathbb {Z} [G]{\text{-Mod}}\to \operatorname {Ab} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd540b79142026b0f9560ae1dc17e655542be7c) |
오른쪽 완전 함자 |
군 호몰로지
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스킴 ![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab) |
에탈 층의 단면 ![{\displaystyle \Gamma (-)\colon \operatorname {Sh} (\operatorname {{\acute {E}}t} /X;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Ab} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5cb9fe04ee09e06dc8131f10af0a35ba5054fa4) |
왼쪽 완전 함자 |
에탈 코호몰로지
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외부 링크[편집]