호몰로지 대수학에서 완전 함자(完全函子, 영어: exact functor)는 두 아벨 범주 사이의, 짧은 완전열을 보존하는 함자이다.
아벨 범주
와
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
에서
로 가는 가법 함자(영어: additive functor)는 다음 성질을 만족시키는 함자
이다.
- (가법성) 모든 대상
에 대하여,
는 아벨 군의 군 준동형이다.
아벨 범주
와
사이의 완전 함자는 다음 성질을 만족시키는 가법 함자
이다.
- (완전열의 보존)
속의 임의의 짧은 완전열
에 대하여,
는
속의 짧은 완전열을 이룬다.
아벨 범주
와
사이의 가법 함자
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 왼쪽 완전 함자(영어: left-exact functor)라고 한다.
속의 임의의 짧은 완전열
에 대하여,
는
속의 완전열을 이룬다.
속의 임의의 완전열
에 대하여,
는
속의 완전열을 이룬다.
아벨 범주
와
사이의 가법 함자
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 오른쪽 완전 함자(영어: right-exact functor)라고 한다.
속의 임의의 짧은 완전열
에 대하여,
는
속의 완전열을 이룬다.
속의 임의의 완전열
에 대하여,
는
속의 완전열을 이룬다.
아벨 범주의 동치는 항상 완전 함자이다.
아벨 범주
의 사영 대상
가 주어지면,
![{\displaystyle \hom(P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Ab} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132f63fed4808f876a85208ffcf33de5bdc64bc9)
는 완전 함자이다. 마찬가지로, 단사 대상
가 주어지면,
![{\displaystyle \hom(-,I)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Ab} ^{\operatorname {op} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baf842967e2eed42c1b7c826268a6264127e28d3)
는 완전 함자이다.
체
에 대한 벡터 공간들의 범주
의 경우, 쌍대 공간
![{\displaystyle V^{*}=\hom(V,K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e55cb7a816084bb2b746499a72e310181485f6ff)
은 완전 함자
![{\displaystyle \hom(-,K)\colon K-\operatorname {Vect} \to K-\operatorname {Vect} ^{\operatorname {op} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/865344e4b7e83bbd10648a14299103a1bc075ee1)
를 정의한다.
외부 링크[편집]