유도 함자

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호몰로지 대수학에서, 유도 함자(誘導函子, 영어: derived functor 디라이브드 펑크터[*])는 왼쪽 완전 함자완전하지 못한 정도를 측정하는 함자이다.

정의[편집]

다음 성질을 만족하는 아벨 범주를 "단사 대상을 충분히 가진다"(영어: has enough injectives)라고 한다.

모든 대상 X에 대하여, 어떤 단사 대상 I로의 단사 사상 X\to I가 존재한다.

단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주의 경우, 임의의 대상 X에 대하여 다음과 같은 긴 완전열을 찾을 수 있다.

0\to X\to I^0\to I^1\to I^2\to\cdots

여기서 I^0,I^1,\dots는 각각 단사 대상이다. 이러한 완전열을 대상 X단사 분해(영어: injective resolution)이라고 한다. 단사 분해는 유일하지 않을 수 있다.

\mathcal A\mathcal B가 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주이고, 함자 F\colon\mathcal A\to\mathcal B왼쪽 완전 함자라고 하자. X\in\mathcal A의 단사 분해를 생각하자.

0\to X\to I^0\to I^1\to I^2\to\cdots

여기에 함자 F를 가하자.

0\to F(X)\to F(I^0)\to F(I^1)\to F(I^2)\to\cdots

이 열은 일반적으로 완전열이 아니다. 이 열의 호몰로지

R^iF(X)=\frac{\ker(F(I^i)\to F(I^{i+1}))}{\operatorname{im}(F(I^{i-1})\to F(I^i))}

를 사용해, Fi차 오른쪽 유도 함자(영어: right-derived functor) \operatorname R^iF\colon\mathcal A\to\mathcal B를 정의한다.

서로 다른 단사 분해를 사용하면, 자연 동형 유도 함자를 얻는다. 따라서 유도 함자는 단사 분해의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 유도 함자 R^iF\colon\mathcal A\to\mathcal B함자임을 보일 수 있다.

단사 대상 대신, 전사 대상을 사용해 오른쪽 완전 함자 G왼쪽 유도 함자(영어: left-derived functor) \operatorname L^iG도 유사하게 정의할 수 있다.

성질[편집]

원래 함자 F왼쪽 완전 함자라고 가정하였으므로, 단사 분해의 처음 부분

0\to X^0\to I^0\to I^1

의 상

0\to F(X^0)\to F(I^0)\to F(I^1)

완전열이다. 따라서, F(X^0)\to F(I^0)단사 사상이며,

\operatorname R^0F(X)=\ker(F(I^0)\to F(I^1))=\operatorname{im}(F(X)\to F(I^0))\cong F(X)

이다. 따라서, 0차 유도 함자는 원래 함자와 자연 동형이다. 즉, R^0F\simeq F이다.

만약 X단사 대상이라면, 단사 분해를

0\to X\to X\to 0

으로 취할 수 있다. 이 경우, 단사 분해의

0\to F(X)\to F(X)\to 0

호몰로지는 자명하다. 즉, 모든 i>0에 대하여 \operatorname R^iF(X)=0이고, 단사 대상의 유도 함자에 대한 은 항상 0이다.

긴 완전열[편집]

왼쪽 완전 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D\mathcal C짧은 완전열

0\to A\to B\to C\to 0

이 주어졌을 때, 뱀 보조정리에 따라서 다음과 같은 긴 완전열이 발생한다.

0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to\operatorname R^1F(A)\to\operatorname R^1F(B)\to\operatorname R^1F(C)\to\operatorname R^2F(A)\to\cdots

마찬가지로, 오른쪽 완전 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D\mathcal C짧은 완전열

0\to A\to B\to C\to 0

이 주어졌을 때, 뱀 보조정리에 따라서 다음과 같은 긴 완전열이 발생한다.

\cdots\to\operatorname L^2F(C)\to\operatorname L^1F(A)\to\operatorname L^1F(B)\to\operatorname L^1F(C)\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0

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흔히 쓰이는 많은 호몰로지코호몰로지 이론들은 유도 함자로서 정의할 수 있다.

적용 대상 함자 완전성 방향 유도 함자
위상 공간 X 아벨 군의 단면 \Gamma(-,X)\colon\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Ab} 왼쪽 완전 함자 층 코호몰로지 \operatorname R^\bullet\Gamma(-,X)=\operatorname H^\bullet(X,-)
R왼쪽 가군 A 준동형 집합 \hom(A,-)\colon R\text{-Mod}\to\operatorname{Ab} 왼쪽 완전 함자 Ext 함자 \operatorname R^\bullet\hom(A,-)=\operatorname{Ext}^\bullet(A,-)
R왼쪽 가군 A 텐서곱 \otimes A\colon\text{Mod-}R\to\operatorname{Ab} 오른쪽 완전 함자 Tor 함자 \operatorname L^\bullet(\otimes A)=\operatorname{Tor}_\bullet(-,A)
G 가군의 불변원 (-)^G\colon\mathbb Z[G]\text{-Mod}\to\operatorname{Ab} 왼쪽 완전 함자 군 코호몰로지 \operatorname R^\bullet(-)^G=\operatorname H^\bullet(G,-)
G 가군의 쌍대불변원 (-)_G\colon\mathbb Z[G]\text{-Mod}\to\operatorname{Ab} 오른쪽 완전 함자 군 호몰로지 \operatorname L^\bullet(-)_G=\operatorname H_\bullet(G,-)
스킴 X 에탈 층의 단면 \Gamma(-)\colon\operatorname{Sh}(\operatorname{\acute Et}/X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Ab} 왼쪽 완전 함자 에탈 코호몰로지 \operatorname R^\bullet\Gamma(-)=\operatorname{H_{\acute et}}^\bullet(-)

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]