유도 함자

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호몰로지 대수학에서, 유도 함자(誘導函子, 영어: derived functor)는 왼쪽 완전 함자 또는 오른쪽 완전 함자완전하지 못한 정도를 측정하는 함자이다.

정의[편집]

유도 함자의 개념은 원래 단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주의 대상에 대하여 정의되었다. 이 정의는 아벨 범주의 대상 대신 그 속의 사슬 복합체에 대하여 일반화할 수 있으며, 하나의 대상에 대한 유도 함자는 하나의 성분만을 가지는 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 사슬 복합체에 대하여 정의된 유도 함자는 초유도 함자(영어: hyperderived functor) 또는 초코호몰로지(영어: hypercohomology)라고 한다. 초유도 함자의 값은 사슬 복합체유사동형에 의존하지 않으며, 따라서 자연스럽게 유도 범주위에 정의된다.

사슬 복합체의 범주는 자연스럽게 모형 범주를 이루며, 초유도 함자의 개념을 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다.

단사 · 사영 분해를 통한 정의[편집]

단사 분해[편집]

단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A에서, 대상 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 대상 A\in\mathcal A에 대하여 단사 분해, 즉 다음과 같은 꼴의 긴 완전열이 존재한다.

0\to A\to I^0\to I^1\to I^2\to\cdots

여기서 I^\bullet\in\operatorname{Ch}_{\ge0}^\bullet(\mathcal A)단사 대상으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체이다. 이러한 긴 완전열을 대상 X단사 분해(영어: injective resolution)이라고 한다. 단사 분해는 유일하지 않을 수 있다. 단사 분해는 다음과 같은 꼴의, 단사 대상으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체유사동형(영어: quasi-isomorphism)과 같다.

\begin{matrix}
0&\to&A&\to&0&\to&0&\to&\cdots\\
\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
0&\to&I^0&\to&I^1&\to&I^2&\to&\cdots
\end{matrix}\qquad\operatorname H^i(I)=\begin{cases}A&i=0\\0&i>0\end{cases}

단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A아벨 범주 \mathcal B 및 그 사이의 왼쪽 완전 함자 F\colon\mathcal A\to\mathcal B가 주어졌다고 하자. 그렇다면, \mathcal A의 대상 A\in\mathcal A에 대하여, 그 (임의의) 단사 분해의 F에 대한 을 생각하자.

\begin{matrix}
0&\to&F(A)&\to&0&\to&0&\to&\cdots\\
\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
0&\to&F(I^0)&\to&F(I^1)&\to&F(I^2)&\to&\cdots
\end{matrix}

F는 두 행의 유사동형을 보존하지 않는다. 즉, I^\bullet완전열이었지만, F(I^\bullet)은 더 이상 완전열이 아니다. F(I^\bullet)코호몰로지F오른쪽 유도 함자의 값으로 정의한다.

\operatorname R^\bullet F\colon\mathcal A\to\operatorname{Ch}^\bullet_{\le0}
\operatorname R^\bullet F(A)=\operatorname H^\bullet(F(I))

특히, \operatorname R^0F(A)=F(A)이다.

보다 일반적으로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A 속의 자연수 차수 공사슬 복합체 A^\bullet\in\operatorname{Ch}_{\ge0}^\bullet(\mathcal A)가 주어졌을 때, 항상 단사 대상으로 구성된 유사동형 공사슬 복합체를 찾을 수 있다.

\begin{matrix}
0&\to&A^0&\to&A^1&\to&A^2&\to&\cdots\\
\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
0&\to&I^0&\to&I^1&\to&I^2&\to&\cdots
\end{matrix}\qquad\operatorname H^i(I)=\operatorname H^i(A)

이를 공사슬 복합체 A^\bullet단사 분해라고 한다. 하나의 대상의 단사 분해는 0차 성분만을 가진 공사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 임의의 공사슬 복합체 A^\bullet\in\operatorname{Ch}^\bullet_{\ge0}(\mathcal A)에 대하여, 왼쪽 완전 함자 F\colon\mathcal A\to\mathcal B는 두 행의 유사동형을 일반적으로 보존하지 않는다. F오른쪽 초유도 함자(영어: right hyperderived functor)의 값은 A^\bullet의 단사 분해 I^\bullet F(I)코호몰로지이다.

\operatorname R^\bullet F\colon\operatorname{Ch}^\bullet_{\ge0}(F)\to\operatorname{Ch}^\bullet_{\ge0}(\mathcal B)
\operatorname R^\bullet F(A)=\operatorname H^\bullet(F(A))

서로 다른 단사 분해를 사용하면, 자연 동형 오른쪽 유도 함자를 얻으며, 따라서 오른쪽 유도 함자는 단사 분해의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 오른쪽 유도 함자 R^iF\colon\mathcal A\to\mathcal B가법 함자임을 보일 수 있다.

사영 분해[편집]

단사 대상 대신, 사영 대상을 사용해 오른쪽 완전 함자 G왼쪽 유도 함자(영어: left derived functor) \operatorname L^iG도 유사하게 정의할 수 있다.

사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A에서, 대상 A\in\mathcal A사영 분해 P_\bullet를 생각하자.

\begin{matrix}
\cdots&\to&P_2&\to&P_1&\to&P_0&\to&0\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
\cdots&\to&0&\to&0&\to&A&\to&0\\
\end{matrix}\qquad\operatorname H_i(I)=\begin{cases}A&i=0\\0&i>0\end{cases}

사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A아벨 범주 \mathcal B 및 그 사이의 오른쪽 완전 함자 F\colon\mathcal A\to\mathcal B왼쪽 유도 함자 \operatorname L^iF(A)A의 사영 분해의 상의 호몰로지이다.

\begin{matrix}
\cdots&\to&F(P_2)&\to&F(P_1)&\to&F(P_0)&\to&0\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
\cdots&\to&0&\to&0&\to&F(A)&\to&0\\
\end{matrix}\qquad\operatorname H_i(F(P_\bullet))=\operatorname L^iF(P_\bullet)
\operatorname L^\bullet F\colon\mathcal A\to\operatorname{Ch}_\bullet^{\ge0}(\mathcal B)

보다 일반적으로, 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A 속의 자연수 차수 사슬 복합체 A_\bullet\in\operatorname{Ch}^{\ge0}_\bullet(\mathcal A)가 주어졌을 때, 항상 사영 대상으로 구성된 유사동형 사슬 복합체를 찾을 수 있다.

\begin{matrix}
\cdots&\to&P_2&\to&P_1&\to&P_0&\to&0\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
\cdots&\to&A_2&\to&A_1&\to&A_0&\to&0\\
\end{matrix}\qquad\operatorname H_i(I_\bullet)=\operatorname H_i(A_\bullet)

이를 사슬 복합체 A_\bullet사영 분해라고 한다. 하나의 대상의 사영 분해는 0차 성분만을 가진 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 \mathcal A아벨 범주 \mathcal B 및 그 사이의 오른쪽 완전 함자 F\colon\mathcal A\to\mathcal B왼쪽 초유도 함자(영어: left hyperderived functor)

\operatorname L^\bullet F\colon\operatorname{Ch}_\bullet^{\ge0}\mathcal A\to\operatorname{Ch}_\bullet^{\ge0}(\mathcal B)

A_\bullet의 사영 분해의 상의 호몰로지이다.

\begin{matrix}
\cdots&\to&F(P_2)&\to&F(P_1)&\to&F(P_0)&\to&0\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
\cdots&\to&F(A_2)&\to&F(A_1)&\to&F(A_0)&\to&0
\end{matrix}\qquad\operatorname H_i(F(P_\bullet))=\operatorname L^iF(P_\bullet)

모형 범주를 통한 정의[편집]

단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 위의 (공)사슬 복합체의 범주는 모형 범주를 이루며, 그 위의 유도 함자의 정의는 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다. 이 경우 단사·사영 분해는 (적절한 모형 범주 구조에 대한) (쌍대)올 분해에 대응한다.

모형 범주 \mathcal M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 호모토피 범주로 가는 충실한 함자

\mathcal M\to\operatorname{ho}(\mathcal M)

가 존재한다. 이 함자는 모형 범주 \mathcal M의 약한 동치 사상을 호모토피 범주 \operatorname{ho}(\mathcal M)동형 사상으로 대응시킨다.

모형 범주에서 올뭉치를 \twoheadrightarrow, 쌍대올뭉치를 \hookrightarrow, 약한 동치를 \xrightarrow\sim로 표기하자. 시작 대상\{\bullet\}\in\mathcal M이며, 끝 대상\varnothing\in\mathcal M로 표기하자.

올 분해[편집]

모형 범주 \mathcal M에서 범주 \mathcal D로 가는 함자 F\colon\mathcal M\to\mathcal D\mathcal M의 올 대상(영어: fibrant object) 사이의 약한 동치를 \mathcal B동형 사상으로 보낸다고 하자.

임의의 대상 A\in\mathcal M에 대하여, 그 올 분해(영어: fibrant resolution)

A\xrightarrow\sim I\twoheadrightarrow\{\bullet\}

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, F오른쪽 초유도 함자 \operatorname RF는 다음과 같다.

\operatorname RF\colon\operatorname{ho}(\mathcal M)\to\mathcal D
\operatorname RF\colon A\mapsto F(I)

이 함자는 약한 동치를 동형 사상으로 대응시키므로, 자연스럽게 호모토피 범주 \operatorname{ho}(\mathcal M)위에 정의된다.

공사슬 복합체 모형 범주
공사슬 복합체 범주 \operatorname{Ch}^\bullet_{\ge0}(\mathcal A) 모형 범주 \mathcal M
공사슬 복합체 범주의 유도 범주 \operatorname D^\bullet_{\ge0}(\mathcal A) 모형 범주호모토피 범주 \operatorname{ho}(\mathcal M)
유도 범주 \operatorname D(\mathcal B) 범주 \mathcal D
오른쪽 완전 함자 F\colon\mathcal A\to\mathcal B로부터 정의된 함자 F^*\colon\operatorname{Ch}^\bullet_{\ge0}\to\operatorname D(\mathcal B) 함자 F\colon\mathcal M\to\mathcal D
단사 대상으로 구성된 공사슬 복합체 I^\bullet 올 대상 I\twoheadrightarrow\{\bullet\}
단사 분해 A^\bullet\to I^\bullet 올 분해 A\xrightarrow\sim I\twoheadrightarrow\{\bullet\}
오른쪽 초유도 함자 \operatorname RF\colon\operatorname D^\bullet_{\ge0}(\mathcal A)\to\operatorname D(\mathcal B) 오른쪽 초유도 함자 \operatorname RF\colon\mathcal M\to\mathcal D

쌍대올 분해[편집]

모형 범주 \mathcal M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 호모토피 범주로 가는 충실한 함자

\mathcal M\to\operatorname{ho}(\mathcal M)

가 존재한다.

모형 범주 \mathcal M에서 범주 \mathcal D로 가는 함자 F\colon\mathcal M\to\mathcal D\mathcal M의 쌍대올 대상(영어: cofibrant object) 사이의 약한 동치를 \mathcal B동형 사상으로 보낸다고 하자.

임의의 대상 A\in\mathcal M에 대하여, 그 쌍대올 분해

\varnothing\hookrightarrow Q\to A

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, F왼쪽 유도 함자 \operatorname LF는 다음과 같다.

\operatorname LF\colon\operatorname{ho}(\mathcal M)\to\mathcal D
\operatorname LF\colon A\mapsto F(Q)
사슬 복합체 모형 범주
사슬 복합체 범주 \operatorname{Ch}_\bullet^{\ge0}(\mathcal A) 모형 범주 \mathcal M
사슬 복합체 범주의 유도 범주 \operatorname D_\bullet^{\ge0}(\mathcal A) 모형 범주호모토피 범주 \operatorname{ho}(\mathcal M)
유도 범주 \operatorname D(\mathcal B) 범주 \mathcal D
오른쪽 완전 함자 F\colon\mathcal A\to\mathcal B로부터 정의된 함자 F^*\colon\operatorname{Ch}_\bullet^{\ge0}\to\operatorname D(\mathcal B) 함자 F\colon\mathcal M\to\mathcal D
사영 대상으로 구성된 사슬 복합체 P_\bullet 쌍대올 대상 0\hookrightarrow P
사영 분해 P_\bullet\to A_\bullet 쌍대올 분해 0\hookrightarrow P\to A
왼쪽 초유도 함자 \operatorname LF\colon\operatorname D_\bullet^{\ge0}\to\operatorname D(\mathcal B) 왼쪽 초유도 함자 \operatorname LF\colon\mathcal M\to\mathcal D

칸 확대를 통한 정의[편집]

모형 범주에서는 약한 동치의 모임이 주어진다. 모형 범주에 존재하는 추가 구조 (올뭉치 · 쌍대올뭉치)는 유도 함자를 구체적으로 구성하는 데 간편하지만, 유도 함자를 정의하는 데 필요하지 않다. 따라서, 약한 동치가 주어진 범주에 대하여 유도 함자를 칸 확대의 개념을 사용하여 일반적으로 정의할 수 있다.[1]

약한 동치의 모임이 주어진 범주 \mathcal C 및 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 약한 동치들에 대한 국소화를 가하여 (범주론적인 문제를 무시하면) 호모토피 범주 \operatorname{ho}(\mathcal C) 및 포함 함자 J\colon\mathcal C\to\operatorname{ho}(\mathcal C)를 정의할 수 있다. 그렇다면, F왼쪽 유도 함자 \operatorname LF\colon\operatorname{ho}(\mathcal C)\to\mathcal D는 (만약 존재한다면) FJ에 대한 오른쪽 칸 확대이다.

\begin{matrix}
\mathcal C&\to&\mathcal D\\
\downarrow&\nearrow\scriptstyle\operatorname LF\\
\operatorname{ho}(\mathcal C)
\end{matrix}

오른쪽 칸 확대보편 성질에 따라서, 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여 자연 변환의 성분 \operatorname LF(J(X))\to F(X)이 존재한다. 모형 범주의 경우, 이 사상은 X의 쌍대올 분해 0\hookrightarrow P\to X의 상 F(P)\to F(X)이다.

마찬가지로, F오른쪽 유도 함자 \operatorname RF\colon\operatorname{ho}(\mathcal C)\to\mathcal D는 (만약 존재한다면) FJ에 대한 왼쪽 칸 확대이다. 왼쪽 칸 확대보편 성질에 따라서, 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여 자연 변환의 성분 F(X)\to \operatorname RF(J(X))이 존재한다. 모형 범주의 경우, 이 사상은 X의 올 분해 X\to I\twoheadrightarrow\{\bullet\}의 상 F(X)\to F(I)이다.

성질[편집]

원래 함자 F왼쪽 완전 함자라고 가정하였으므로, 단사 분해의 처음 부분

0\to X^0\to I^0\to I^1

의 상

0\to F(X^0)\to F(I^0)\to F(I^1)

완전열이다. 따라서, F(X^0)\to F(I^0)단사 사상이며,

\operatorname R^0F(X)=\ker(F(I^0)\to F(I^1))=\operatorname{im}(F(X)\to F(I^0))\cong F(X)

이다. 따라서, 0차 유도 함자는 원래 함자와 자연 동형이다. 즉, R^0F\simeq F이다.

만약 X단사 대상이라면, 단사 분해를

0\to X\to X\to 0

으로 취할 수 있다. 이 경우, 단사 분해의

0\to F(X)\to F(X)\to 0

호몰로지는 자명하다. 즉, 모든 i>0에 대하여 \operatorname R^iF(X)=0이고, 단사 대상의 유도 함자에 대한 은 항상 0이다.

긴 완전열[편집]

왼쪽 완전 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D\mathcal C짧은 완전열

0\to A\to B\to C\to 0

이 주어졌을 때, 뱀 보조정리에 따라서 다음과 같은 긴 완전열이 발생한다.

0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to\operatorname R^1F(A)\to\operatorname R^1F(B)\to\operatorname R^1F(C)\to\operatorname R^2F(A)\to\cdots

마찬가지로, 오른쪽 완전 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D\mathcal C짧은 완전열

0\to A\to B\to C\to 0

이 주어졌을 때, 뱀 보조정리에 따라서 다음과 같은 긴 완전열이 발생한다.

\cdots\to\operatorname L^2F(C)\to\operatorname L^1F(A)\to\operatorname L^1F(B)\to\operatorname L^1F(C)\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0

[편집]

흔히 쓰이는 많은 호몰로지코호몰로지 이론들은 유도 함자로서 정의할 수 있다.

적용 대상 함자 완전성 방향 유도 함자
위상 공간 X 아벨 군의 단면 \Gamma(-,X)\colon\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Ab} 왼쪽 완전 함자 층 코호몰로지 \operatorname R^\bullet\Gamma(-,X)=\operatorname H^\bullet(X,-)
R왼쪽 가군 A 준동형 집합 \hom(A,-)\colon R\text{-Mod}\to\operatorname{Ab} 왼쪽 완전 함자 Ext 함자 \operatorname R^\bullet\hom(A,-)=\operatorname{Ext}^\bullet(A,-)
R왼쪽 가군 A 텐서곱 \otimes A\colon\text{Mod-}R\to\operatorname{Ab} 오른쪽 완전 함자 Tor 함자 \operatorname L^\bullet(\otimes A)=\operatorname{Tor}_\bullet(-,A)
G 가군의 불변원 (-)^G\colon\mathbb Z[G]\text{-Mod}\to\operatorname{Ab} 왼쪽 완전 함자 군 코호몰로지 \operatorname R^\bullet(-)^G=\operatorname H^\bullet(G,-)
G 가군의 쌍대불변원 (-)_G\colon\mathbb Z[G]\text{-Mod}\to\operatorname{Ab} 오른쪽 완전 함자 군 호몰로지 \operatorname L^\bullet(-)_G=\operatorname H_\bullet(G,-)
스킴 X 에탈 층의 단면 \Gamma(-)\colon\operatorname{Sh}(\operatorname{\acute Et}/X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Ab} 왼쪽 완전 함자 에탈 코호몰로지 \operatorname R^\bullet\Gamma(-)=\operatorname{H_{\acute et}}^\bullet(-)

참고 문헌[편집]

  1. Maltsiniotis, Georges (2006). “Quillen’s adjunction theorem for derived functors, revisited” (영어). arXiv:math/0611952. Bibcode:2006math.....11952M. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]