범주론에서 칸 확대(Kan擴大, 영어: Kan extension)는 어떤 함자의 정의역을 다른 정의역으로 바꾸는 "최적의" 방법이다. 왼쪽 칸 확대와 오른쪽 칸 확대 두 가지가 있다.
대역적 칸 확대[편집]
범주
,
및 함자
![{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64bb27c6574a938a7dc040eee680178b5f63711d)
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
와의 합성은 임의의 범주
에 대하여, 두 함자 범주 사이의 함자
![{\displaystyle F^{*}\colon [{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]\to [{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57bc434e38e8d5e10df6d5ffdca831b3ef8b3c9)
![{\displaystyle F^{*}\colon X\mapsto X\circ F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e6747757a7f8ece5e5ea34c8db7b3eaa07e122c)
를 정의한다. 만약
가 왼쪽 수반 함자
![{\displaystyle F_{!}\dashv F^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/756debb1e25d73894aa95164b2e0cbf2da74c76c)
를 갖는다면, 임의의 함자
에 대하여 함자
를
의
에 대한 왼쪽 칸 확대(영어: left Kan extension)라고 한다. 왼쪽 칸 확대는
로 표기하기도 한다. 수반 함자의 정의에 따라, 임의의 다른 함자
에 대하여 자연 동형
![{\displaystyle \hom _{[{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}(X,F^{*}Y)\cong \hom _{[{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]}(\operatorname {Lan} _{F}X,Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c1350cd52f024f48af665ae49373892c25ee56)
이 존재한다.
마찬가지로, 만약
가 오른쪽 수반 함자
![{\displaystyle F^{*}\dashv F_{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebdab2c231012068fe706798763ec07ae245a774)
를 갖는다면, 임의의 함자
에 대하여 함자
를
의
에 대한 오른쪽 칸 확대(영어: right Kan extension)라고 한다. 오른쪽 칸 확대는
로 표기하기도 한다. 수반 함자의 정의에 따라, 임의의 다른 함자
에 대하여 자연 동형
![{\displaystyle \hom _{[{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}(F^{*}Y,X)\cong \hom _{[{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]}(Y,\operatorname {Ran} _{F}X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e806e26a5381bab44352fe53433b0fd4e0cefb45)
이 존재한다.
국소 칸 확대[편집]
위에서 정의된 함자
및
가 일반적으로 존재하지 않더라도, 특별한 함자
에 대하여
또는
가 존재할 수 있다.
이러한 국소 칸 확대(영어: local Kan extension)의 정의는 대역적 칸 확대의 정의를 국소화한 것이다. 즉,
의
에 대한 (국소) 왼쪽 칸 확대는 함자
![{\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}X\colon {\mathcal {C}}'\to {\mathcal {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edeb3db459a7f59fd1845e24a0724e0e1cbe4a22)
및 자연 동형
![{\displaystyle \hom _{[{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}(X,F^{*}(-))\cong \hom _{[{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]}(\operatorname {Lan} _{F}X,-)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af80351a4cb48a2eeb39144efba5b4c76ebbd7e)
으로 구성된다. 마찬가지로,
의
에 대한 (국소) 오른쪽 칸 확대는 함자
![{\displaystyle \operatorname {Ran} _{F}X\colon {\mathcal {C}}'\to {\mathcal {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29a5f9b59c64c9571f70c6312d5e59048826b47)
및 자연 동형
![{\displaystyle \hom _{[{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}(F^{*}Y,X)\cong \hom _{[{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]}(Y,\operatorname {Ran} _{F}X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e806e26a5381bab44352fe53433b0fd4e0cefb45)
으로 구성된다.
이 하나의 대상 및 그 항등 사상만을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 함자
에 대하여,
의
에 대한 오른쪽 칸 확대는
의 극한이며, 왼쪽 칸 확대는
의 쌍대극한이다.
수반 함자[편집]
함자
의 왼쪽 수반 함자는 (만약 이러한 칸 확대가 존재한다면) 항등 함자
의
에 대한 오른쪽 칸 확대
와 같다.
![{\displaystyle F_{*}\operatorname {Id} _{\mathcal {C}}\dashv F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/194641e40cf9d86c9d44a0116cd48a8bdf2f396d)
함자
의 오른쪽 수반 함자는 (만약 이러한 칸 확대가 존재한다면) 항등 함자
의
에 대한 왼쪽 칸 확대
와 같다.
![{\displaystyle F\dashv F_{!}\operatorname {Id} _{\mathcal {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a05a69139831aecc2de9eb214ddea9575abec9)
다니얼 칸이 1960년에 도입하였다. 손더스 매클레인은 칸 확대의 중요성에 대하여 다음과 같이 적었다.
“
|
모든 개념은 칸 확대이다. […] 칸 확대의 개념은 범주론의 다른 모든 근본적인 개념을 포함한다. All concepts are Kan extensions. […] The notion of Kan extensions subsumes all the other fundamental concepts of category theory.
|
”
|
|
|
외부 링크[편집]