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국소화 (범주론)

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범주론에서 국소화(局所化, 영어: localization)는 범주의 일부 사상들을 동형 사상으로 만드는 과정이다.

정의

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작은 범주 및 그 속의 사상들의 집합 가 주어졌다고 하자. 또한, 가 모든 동형 사상을 포함하며, 또한 사상의 합성에 대하여 닫혀 있다고 하자.

그렇다면, 에서의 국소화 는 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 범주이다.

  • 임의의 작은 범주 및 함자 에 대하여, 만약 에 속하는 모든 사상을 동형 사상으로 대응시킨다면, 인 함자 자연 동형 이 존재한다.

작은 범주의 국소화는 항상 존재하며, 보편 성질의 성질에 따라서 범주의 동치 아래 유일하다.

(만약 가 모든 동형 사상을 포함하지 않거나, 사상의 합성에 대하여 닫혀 있지 않을 경우에도 국소화를 정의할 수 있다. 그러나 이 경우 만약 를 위 성질에 대한 폐포라고 한다면, 와 같은 보편 성질을 만족시키게 되어 서로 동형이다. 즉, 일반성을 잃지 않고 가 위 성질들을 만족시킨다고 가정할 수 있다.)

집합론적 문제

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작은 범주의 경우 국소화는 항상 존재한다. 작은 범주가 아닐 경우, 국소화는 일반적으로 존재하지 않을 수 있다. 특히, 국소적으로 작은 범주의 국소화는 (만약 존재한다면) 국소적으로 작은 범주가 아닐 수 있다.

만약 그로텐디크 전체를 사용한다면 물론 국소화는 항상 존재하지만, 이 경우 국소화는 사용되는 그로텐디크 전체에 의존할 수 있다.

만약 범주가 모형 범주의 구조를 갖는다면, 이 개념을 사용하여 약한 동치에서의 국소화를 구성할 수 있다.

구성

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작은 범주 와, 동형 사상을 포함하며 합성에 대하여 닫혀 있는 사상 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 알파벳 집합

의 원소가 사상 또는 각 에 대하여 형식적 기호 로 구성되었다고 하자. 에 대하여 다음을 정의하자.

  • 만약 라면, 정의역이며 공역이다.
  • 만약 라면, 이며 이다.

위의 문자열

가 다음 두 성질을 만족시킨다면, 지그재그(영어: zigzag)라고 한다. (클레이니 스타이다.)

  • 길이가 1 이상이다.
  • 모든 에 대하여, 이다.

지그재그는 다음과 같은 꼴의 그림으로 생각할 수 있다.

(여기서 에 속한 사상을 뜻한다.) 즉, 순방향으로는 임의의 사상을 사용할 수 있지만, 역방향으로는 항상 의 원소만을 사용한다.

이 경우, 지그재그의 집합 위에 다음과 같은 관계로부터 생성되는 동치 관계를 부여하자.

  • 임의의 문자열 에 대하여, (만약 가운데 하나가 양의 길이를 갖는다면)
  • 임의의 문자열 에 대하여,
  • 임의의 문자열 에 대하여,
  • 임의의 문자열 에 대하여,
  • 임의의 문자열 및 사상 , , 이 주어졌고, 이며 일 때,

그렇다면, 국소화 는 다음과 같은 범주이다.

  • 의 대상은 의 대상과 같다.
  • 의 사상은 의 지그재그의 동치류이다.
  • 지그재그 의 정의역은 의 정의역이며, 공역은 의 공역이다.
  • 의 항등 사상은 지그재그 의 동치류이다.

오레 조건

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국소화오레 조건을 가정하면 더 간단하게 구성할 수 있는 것처럼, 마찬가지로 범주의 국소화의 경우에도 비슷한 오레 조건을 가정하여 국소화를 더 간단하게 구성할 수 있다.

범주 및 그 속의 사상 모임 가 다음 조건들을 만족시킨다면, 오른쪽 오레 조건이 성립한다고 한다. (여기서, 의 원소를 로 표기하였다.)

  • 는 모든 동형 사상을 포함한다.
  • 는 사상의 합성에 대하여 닫혀 있다.
  • 임의의 그림 에 대하여, 다음과 같은 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 이 존재한다.
  • 임의의 에 대하여, 만약 라면, 가 되는 가 존재한다.

오른쪽 지붕(영어: right roof)은 다음과 같은 꼴의 그림이다.

같은 정의역과 공역을 갖는 두 오른쪽 지붕

에 대하여, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, 두 오른쪽 지붕이 서로 동치라고 하자.

만약 가 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다면, 지그재그의 동치류는 오른쪽 지붕의 동치류와 일대일 대응하며, 따라서 사상을 오른쪽 지붕으로 하는 국소화를 구성할 수 있다.

마찬가지로, 오른쪽 오레 조건을 쌍대화하여 왼쪽 오레 조건(영어: left Ore condition)을 정의할 수 있다. 이 경우, 사상을 왼쪽 지붕(영어: left roof)으로 하는 국소화를 구성할 수 있다.

모형 범주

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모형 범주 가 주어졌다고 하자. 그 호모토피 범주 는 다음과 같다.

  • 의 대상은 의 대상 가운데 올대상이자 쌍대올대상인 것이다.
  • 의 사상은 호모토피류이다. (올대상이자 쌍대올대상인 두 대상 사이에는 왼쪽·오른쪽 호모토피류가 일치한다.)

그렇다면, 국소화 는 호모토피 범주 동치이다.

특히, 모형 범주의 호모토피 범주 구성은 작은 범주가 아니더라도 국소적으로 작은 범주라면 집합론적으로 문제가 없기 때문에, 이러한 경우에 국소화를 구성하는 데 사용된다.

성질

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일반적으로, 국소화 함자 충실한 함자도, 충만한 함자도 아니다. 예를 들어, 사상 에 대하여, 만약 이지만 라면, 국소화 함자 아래 가 된다.

이는 에서 단사 사상이 아니더라도, 에서는 항상 동형 사상이므로 특히 단사 사상이 되기 때문이다.

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아벨 범주유도 범주유사동형의 모임에 대한 국소화이다.

위상 공간호모토피 범주는 위상 공간의 범주를 호모토피 동치 또는 약한 호모토피 동치에서 국소화하여 얻는다. 이 범주는 작은 범주가 아니지만, 호모토피 범주는 모형 범주 이론을 통해 집합론적 문제를 피하면서 구성할 수 있다.

임의의 아벨 다양체 A에서 B로 가는 등원 사상(isogeny)은 유한 을 갖는 전사 함수이다. 아벨 다양체에 대한 몇몇 정리에서, 등원한 차이를 제외한 아벨 다양체(abelian variety up to isogeny )라는 개념이 필요할 때가 있다. 예를 들어 푸엥카레 기약성 정리(Poincaré's reducibility theorem)는 다음과 같다: 주어진 아벨 다양체 A의 아벨 부분 다양체 A1에 대하여

A1 × A2

A등원한(isogenous) 부분 다양체 A2가 존재한다.

외부 링크

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같이 보기

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