분류 공간

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대수적 위상수학에서, 분류 공간(分流空間, 영어: classifying space)는 어떤 위상군로 하는 모든 주다발들을 호모토피류들로 나타낼 수 있는 올다발이다.

정의[편집]

위상군이라고 하자. 어떤 -주다발 이 주어졌을 때, 임의의 위상 공간 연속 함수 에 대하여, -주다발 당겨서 정의할 수 있다.

만약 임의의 위상 공간 에 대하여, 위에 존재하는 -주다발 연속 함수 호모토피류 들과 위와 같은 사상을 통해 일대일 대응한다면, 분류 공간이라고 한다.

이 경우, 분류 공간, 전체 분류 공간(영어: total classifying space)이라고 한다. 즉, -주다발들은 의 분류 공간을 공역으로 하는 호모토피류들과 일대일 대응한다.

성질[편집]

주어진 위상 공간의 분류 공간은 호모토피 동치 아래 유일하다.

위상군직접곱의 분류 공간은 각 위상군의 분류 공간의 곱공간(과 호모토피 동치)이다.

벡터 다발의 경우, 항상 리만 계량 (또는 에르미트 계량)을 줘 그 구조군 O(n) (실수 벡터 다발의 경우) 또는 U(n) (복소수 벡터 다발의 경우)의 주다발로 나타낼 수 있다. 따라서 벡터 다발은 그 구조군의 분류 공간으로 분류된다.

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분류 공간 전체 공간
아벨 군
순환군 무한 차원 렌즈 공간 무한 차원 초구
무한 차원 실수 사영 공간 무한 차원 초구
n개의 생성원의 자유군 n개의 들의 쐐기합
유니터리 군 U(n) 복소수 그라스만 다양체 그라스만 다양체의 자명 다발(tautological bundle)
원군 U(1) 무한 차원 복소 사영 공간 무한 차원 초구
직교군 O(n) 실수 그라스만 다양체 그라스만 다양체의 자명 다발(tautological bundle)

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]