올다발

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위상수학에서, 올다발(미국 영어: fiber bundle, 영국 영어: fibre bundle)은 국소적으로 두 공간의 곱집합처럼 보이는 위상공간이다. 전체적(globally)으로는 위상적으로 단순한 곱집합과 위상동형이 아니라 더 복잡한 위상구조를 가지고 있을 수 있다. 다발 이론은 대수적 불변량을 통해 주어진 올다발이 어떤 위상구조를 가지는지 다룬다.

정의[편집]

E, B, F가 세 개의 위상공간이라고 하자. 대략, E의 모든 점 근처의 근방B\times F의 꼴이라면 E밑공간(base space) B 위에 놓인, 올공간(fibre space)이 F올다발이라고 한다.

엄밀히 말해, 올다발 (E,B,\pi,F)는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다. E, B, F는 위상공간이며,

\pi\colon E \to B

는 올다발에서 밑공간으로 사영하는 연속적인 전사함수다. 이 데이터가 올다발을 이루기 위해서는 임의의 점 x\in E에 대하여, \pi^{-1}(U)U\times F위상동형근방 U\ni\pi(x)가 존재하여야 한다. 뿐만 아니라, \pi\colon\pi^{-1}(U)\to U가 사영 함수 U\times F\to U와 (위상동형사상 아래) 같아야 한다.

올다발의 예[편집]

올다발의 가장 간단한 예는 E=B\times F인 경우다. 이 때 \pi\colon(b,f)\mapsto b는 단순히 사영 함수다. 이러한 경우를 자명한 다발(trivial bundle)이라고 한다.

올다발의 대표적인 예는 벡터다발이다. 이는 올다발의 올공간이 벡터공간인 경우로, 리만 다양체접다발여접다발이 대표적인 예이다. 주다발은 올공간이 을 이루는 경우로, 미분위상수학미분기하학에서 중요한 역할을 하며 또한 게이지 이론에 핵심적인 개념이다. 이 밖에도, 올이 다른 임의의 위상공간을 이룰 수 있다. 예를 들어, 호프 다발은 그 올이 인 경우다.

참고 문헌[편집]