직교군

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군론에서, 직교군(直交群, 영어: orthogonal group)은 주어진 에 대한 직교행렬리 군이다.

정의[편집]

K 위의 유한 차원 벡터 공간 V 위에 비퇴화 대칭 이중 선형 형식

Q\colon V\times V\to V

가 주어졌다고 하자. (만약 K표수가 2가 아니라면, 이는 V 위의 이차 형식과 같다.) 그렇다면, 직교군 \operatorname O(V,Q)V 위의 가역 선형 변환들 가운데, Q를 보존하는 것들로 구성된 이다.

\operatorname O(V,Q)=\{M\in\operatorname{GL}(V)\colon Q(u,v)=Q(Mu,Mv)\forall u,v\in V\}

이는 대수적 조건이므로, 직교군은 체 K에 대한 대수군이다. 또한, 만약 K가 실수체나 복소수체라면, 직교군은 리 군을 이룬다.

만약 Vn차원 벡터 공간이며, Q가 자명한 (양의 정부호) 이차 형식이라면, 이를 \operatorname O(n;K)로 쓴다.

실수체 K=\mathbb R 위에서는 비퇴화 이차 형식은 계량 부호수 (p,q)에 의하여 분류된다. 이 경우 직교군은 \operatorname O(p,q;\mathbb R)와 같이 쓴다.

특수직교군[편집]

직교군에서 2차 순환군으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

D\colon\operatorname O(n;K)\to\mathbb Z/2
D\colon M\mapsto\operatorname{rank}(1-M)\pmod 2.

이 준동형을 딕슨 불변량(Dickson不變量, 영어: Dickson invariant)이라고 한다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면 이는 행렬식 \det\colon\operatorname{O}(n;K)\to\{\pm1\}과 같다. (표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이다.)

특수직교군(特殊直交群, 영어: special orthogonal group) \operatorname {SO}(n;K)는 딕슨 불변량의 이다.

\operatorname{SO}(n;K)=\ker D=\operatorname{O}(n;K)/(\mathbb Z/2\mathbb Z).

즉, 딕슨 불변량이 0인 직교행렬의 리 군이다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면, 이는 행렬식이 1인 직교행렬의 리 군이 된다. 따라서 특수직교군과 직교군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족한다.

1\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to\operatorname{O}(n;K)\to\operatorname{SO}(n;K)\to1.

스핀 군과 핀 군[편집]

특수직교군 \operatorname{SO}(n;\mathbb R)에 대하여, 그렇다면 다음 짧은 완전열을 만족시키는 유일한 연결 리 군 \operatorname{Spin}(n)이 존재한다.

1\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n;\mathbb R)\to1.

리 군스핀 군(영어: spin group)이라고 한다.

n>2일 경우, 스핀 군은 특수직교군의 전피복공간(universal cover)이다. (n=2일 경우는 물론 \operatorname{SO}(2)=\operatorname{U}(1)이고, 그 전피복공간은 \mathbb R이다.)

마찬가지로, 직교군의 두 겹 피복군인 핀 군(영어: pin group)을 정의할 수 있다. 스핀 군과 핀 군은 다음과 같은 가환 그림을 만족시키며, 이 가환 그림에서 모든 행과 열은 짧은 완전열을 이룬다.


\begin{matrix}
&&1&&1\\
&&\downarrow&&\downarrow\\
&&\mathbb Z/2&=&\mathbb Z/2\\
&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\operatorname{Spin}(n)&\to&\operatorname{Pin}(n)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\|\\
1&\to&\operatorname{SO}(n)&\to&\operatorname{O}(n)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow\\
&&1&&1
\end{matrix}

직교 리 대수[편집]

실수체 또는 복소수체 위의 직교군은 리 군을 이루며, 이에 대응하는 리 대수를 정의할 수 있다. 이는 \mathfrak{so}(n;K) 또는 \mathfrak o(n;K)와 같이 쓴다 (K=\mathbb R,\mathbb C).

\mathfrak{so}(n;\mathbb R)n\times n 정사각 실수 반대칭 행렬들로 구성된 리 대수이며, \mathfrak{so}(n;\mathbb C)는 정사각 복소수 반대칭 행렬들로 구성된 리 대수이다.

\mathfrak{so}(n;K)=\{M\in\operatorname{Mat}(n;K)\colon M^\top=-M\}

성질[편집]

군론적 성질[편집]

K에 대한 직교군의 중심은 다음과 같다.

\operatorname Z(\operatorname O(n;K))=\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}

만약 K의 표수가 2가 아니라면, 중심의 크기는 2이며, 만약 K의 표수가 2라면 중심의 크기는 1이다. 체의 표수가 2가 아닐 때, 만약 n이 짝수라면 중심의 두 원소 모두 특수직교군에 속하지만, n이 홀수라면 그렇지 않다.

\operatorname Z(\operatorname{SO}(n;K))=\begin{cases}\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}&2\mid n\\
\{1_{n\times n}\}&2\nmid n\end{cases}\qquad(\operatorname{char}K\ne2)

중심에 대하여 몫군을 취하면, 사영 직교군(영어: projective orthogonal group)

\operatorname{PO}(n;K)=\operatorname O(n;K)/\operatorname Z(\operatorname O(n;K))

을 얻는다.

리 이론적 성질[편집]

복소수 리 군 \operatorname{SO}(n;\mathbb C)n\ne4일 경우 단순 리 군이다. 단순 리 군의 분류에서, 이는 만약 n=2k+1이라면 B_k에, 만약 n=2k라면 D_k에 해당하며, 그 딘킨 도형은 다음과 같다.

B_k\colon\bullet-\bullet-\cdots-\bullet\Rightarrow\bullet
D_k\colon\bullet-\bullet-\cdots-\bullet\langle{\bullet\atop\bullet}

\operatorname{SO}(n;\mathbb R)\operatorname{SO}(n;\mathbb C)의 콤팩트 실수 형식이다. 분해 실수 형식은 짝수 차수에서는 \operatorname{SO}(k,k;\mathbb R)이며, 홀수 차수에서는 \operatorname{SO}(k+1,k;\mathbb R)이다.

\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)극대 원환면은 다음과 같다.

\begin{pmatrix}
R_1&&0\\
&\ddots\\
0&&R_k
\end{pmatrix}

여기서

R_i=\begin{pmatrix}\cos\theta_i&-\sin\theta_i\\\sin\theta_i&\cos\theta_i\end{pmatrix}

는 2×2 회전 행렬이다. \operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R)극대 원환면은 다음과 같다.

\begin{pmatrix}
R_1&&&0\\
&\ddots\\
&&R_k\\
0&&&1
\end{pmatrix}

\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R)바일 군반직접곱

\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R))\cong\{\pm 1\}^k\rtimes\operatorname{Sym}(k)

이다. 여기서 \epsilon=(\epsilon_1,\dots,\epsilon_k)\in\{\pm 1\}^k

\epsilon\colon \theta_i\mapsto\epsilon_i\theta_i

와 같이 작용하며, 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(k)

\sigma\colon\theta_i\mapsto\theta_{\sigma(i)}

와 같이 작용한다. 구체적으로, 바일 군에서 (\epsilon_1,\dots,\epsilon_k)\in\{\pm1\}^k의 원소는 블록 대각 행렬

\operatorname{diag}\left(M(\epsilon_1),\dots,M(\epsilon_k),\prod_{i=1}^k\epsilon_k\right)\in\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R)
M(+1)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\qquad M(-1)=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

이며, \operatorname{Sym}(k)의 원소는 2×2 단위 행렬 블록의 2k\times 2k 순열 행렬(2k+1,2k+1)번째 성분 +1을 추가한 행렬이다.

\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)의 바일 군은 반직접곱

\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R))\cong\{\pm 1\}^{k-1}\rtimes\operatorname{Sym}(k)

이다. 포함 관계

\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R))<\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R))

아래, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

1\to \operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)) \to \operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)) \xrightarrow\phi \{\pm1\} \to 1

이며, \phi는 다음과 같다.

\phi\colon(\epsilon_1,\dots,\epsilon_k,\sigma)\mapsto\prod_{i=1}^k\epsilon_k\in\{\pm1\}

위상수학적 성질[편집]

실수 직교군 \operatorname{O}(n;\mathbb R)n(n-1)/2차원의 리 군이며, 콤팩트 공간이다. 두 개의 연결 성분을 가지며, 이들은 각각 행렬식 \det M=\pm1인 실수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 연결 공간인 실수 특수직교군 \operatorname{SO}(n;\mathbb R)를 이룬다.

복소수 직교군 \operatorname O(n;\mathbb C)은 복소수 n(n-1)/2차원(실수 n(n-1)차원)의 복소수 리 군이자 대수군이다. n\ge2인 경우, 복소수 직교군은 콤팩트하지 않다. 복소수 직교군은 두 개의 연결 성분을 가지며, 이는 각각 행렬식이 \det M=\pm1인 복소수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 복소수 특수직교군 \operatorname{SO}(n;\mathbb C)를 이룬다.

실수 또는 복소수 특수직교군의 기본군은 다음과 같다.

\pi_1(\operatorname{SO}(n;\mathbb R))\cong\pi_1(\operatorname{SO}(n;\mathbb C))\cong\begin{cases}1&n=1\\\mathbb Z&n=2\\\mathbb Z/2&n>2\end{cases}

이에 따라, 실수 특수직교군의 범피복 리 군을 취하면 n=2에서는 \mathbb R를, n>2에서는 스핀 군 \operatorname{Spin}(n)을 얻는다.

부정부호 실수 직교군 \operatorname{O}(p,q;\mathbb R) (p,q>0)는 네 개의 연결 성분을 가지며,

\pi_0(\operatorname O(p,q;\mathbb R))=(\mathbb Z/2)^2

이다. 여기서 한 \mathbb Z/2p차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정되며, 다른 하나는 q차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정된다. \operatorname{SO}(p,q;\mathbb R)는 두 개의 연결 성분을 가지며, 이 경우

\pi_0(\operatorname{SO}(p,q;\mathbb R))=\{(1,1),(-1,-1)\}\subset\pi_0(\operatorname O(p,q;\mathbb R))

이다. \operatorname{SO}(p,q;\mathbb R)의 연결 부분군을 \operatorname{SO}^+(p,q;\mathbb R)라고 한다.

부정부호 실수 직교군의 기본군은 다음과 같다.

\pi_1(\operatorname{SO}^+(p,q;\mathbb R))=\pi_1(\operatorname{SO}(p;\mathbb R))\times\pi_1(\operatorname{SO}(q;\mathbb R))

보트 주기성[편집]

호프 올뭉치

\operatorname O(n)\hookrightarrow\operatorname O(n+1)\twoheadrightarrow\mathbb S^n

로 인하여, 만약 i<n-1이라면

\pi_i(\operatorname O(n))\cong\pi_i(\operatorname O(n+1))

이다.[1]:112 즉, 직교군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.[1]:113

\pi_i(\operatorname O(n))=\begin{cases}0&i\equiv2,4,5,6\pmod8\\
\mathbb Z/2&i\equiv0,1\pmod8\\
\mathbb Z&i\equiv3,7\pmod8
\end{cases}\qquad(i<n-1)

이 주기성을 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이라고 한다. 불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.

직교군 π0 π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9
O(1) ℤ/2 0 0 0 0 0 0 0 0
O(2) ℤ/2 0 0 0 0 0 0 0 0
O(3) ℤ/2 ℤ/2 0 ℤ/2 ℤ/2 ℤ/12 ℤ/2 ℤ/2 ℤ/3
O(4) ℤ/2 ℤ/2 0 2 (ℤ/2)2 (ℤ/2)2 (ℤ/12)2 (ℤ/2)2 (ℤ/2)2 (ℤ/3)2
O(5) ℤ/2 ℤ/2 0 ℤ/2 ℤ/2 0 0 0
O(6) ℤ/2 ℤ/2 0 0 0 ℤ/24 ℤ/2


특수직교군 및 스핀 군의 호모토피 군은 다음과 같이 다르다.

\pi_i(\operatorname{SO}(n))\cong\begin{cases}0&i=0\\\pi_i(\operatorname O(n))&i>0\end{cases}
\pi_i(\operatorname{Spin}(n))\cong\begin{cases}0&i=0,1\\
\pi_i(\operatorname O(n))&i>1\end{cases}\qquad(n>2)
\pi_i(\operatorname{Pin}(n))\cong\begin{cases}0&i=1\\
\pi_i(\operatorname O(n))&i\ne1\end{cases}\qquad(n>2)

다음과 같은 무한 직교군 \operatorname O(\infty)을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.

\operatorname O(\infty)=\varinjlim_n\operatorname O(n)

무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.

\pi_i(\operatorname O(\infty))=\begin{cases}0&i\equiv2,4,5,6\pmod8\\
\mathbb Z/2&i\equiv0,1\pmod8\\
\mathbb Z&i\equiv3,7\pmod8
\end{cases}

이에 따라, 무한 직교군은 스스로의 8차 고리 공간호모토피 동치이다.[1]:112, Theorem 1

\operatorname O(\infty)\simeq\Omega^8\operatorname O(\infty)

무한 차원 분해 가능 실수 힐베르트 공간 \mathcal H의 직교군 \operatorname O(\mathcal H)\operatorname O(\infty)와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때, \operatorname O(\mathcal H)축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.[2]

\pi_i(\operatorname O(\mathcal H))=0\quad\forall i

포함 관계[편집]

모든 n에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

\operatorname{SO}(n;\mathbb R)\subset\operatorname{SU}(n)\subset\operatorname{USp}(2n)
\operatorname{SU}(n;\mathbb R)\subset\operatorname{SO}(2n)
\operatorname{SO}(n;\mathbb R)\subset\operatorname{SO}(n+1;\mathbb R)

또한, 예외 단순군에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

\operatorname{Spin}(3)\subset G_2
\operatorname{Spin}(9)\subset F_4
\operatorname{Spin}(10)\subset E_6
\operatorname{Spin}(12)\subset E_7
\operatorname{Spin}(16)\subset E_8

6차원 이하의 직교군은 다음과 같은 예외적 동형(영어: exceptional isomorphism)을 보인다.

1차원
\operatorname O(1)\cong\operatorname{Spin}(1)\cong\mathbb Z/2
\operatorname{SO}(1)\cong\operatorname{PSO}(1)\cong1
2차원
\operatorname{SO}(2;\mathbb R)\cong\operatorname{Spin}(2)\cong\operatorname U(1)\cong\mathbb S^1
\operatorname{SO}^+(1,1;\mathbb R)\cong\mathbb R
3차원
\operatorname{SO}(3;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}(3;\mathbb R)\cong\operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{PUSp}(2)\cong\mathbb{RP}^2
\operatorname{Spin}(3)\cong\operatorname{SU}(2)\cong\operatorname{USp}(2)\cong\mathbb S^3
\operatorname{SO}(3;\mathbb C)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{PSp}(2;\mathbb C)
\operatorname{SO}^+(2,1;\mathbb R)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)
\operatorname{Spin}^+(2,1)\cong\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\cong\operatorname{Sp}(2;\mathbb R)
4차원
\operatorname{SO}(4;\mathbb R)\cong\left(\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\right)/(\mathbb Z/2)
\operatorname{Spin}(4)\cong\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\cong\mathbb S^3\times\mathbb S^3
\operatorname{PSO}(4;\mathbb R)\cong\operatorname{PSU}(2)\times\operatorname{PSU}(2)
\operatorname{PSO}(4;\mathbb C)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)\times\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)
\operatorname{SO}^+(3,1;\mathbb R)\cong\operatorname{SO}(3;\mathbb C)\cong\operatorname{PGL}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{PSp}(2;\mathbb C)
5차원
\operatorname{SO}(5;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}(5;\mathbb R)\cong\operatorname{PUSp}(4)
\operatorname{Spin}(5)\cong\operatorname{USp}(4)
\operatorname{SO}^+(3,2;\mathbb R)\cong\operatorname{PSp}(4;\mathbb R)
6차원
\operatorname{SO}(6)\cong\operatorname{SU}(4)/(\mathbb Z/2)
\operatorname{PSO}(6)\cong\operatorname{PSU}(4)
\operatorname{Spin}(6)\cong\operatorname{SU}(4)
\operatorname{SO}^+(5,1;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}^+(5,1;\mathbb R)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb H)
\operatorname{SO}^+(4,2;\mathbb R)\cong\operatorname{SU}(2,2)/(\mathbb Z/2)
\operatorname{PSO}^+(4,2;\mathbb R)\cong\operatorname{PSU}(2,2)
\operatorname{SO}^+(3,3;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}^+(3,3)\cong\operatorname{PSL}(4;\mathbb R)

유한체 위에서의 직교군[편집]

\mathbb F_q가 표수가 2가 아닌 유한체라고 하자. 이 경우, 비퇴화 대칭 이중 선형 형식은 정확히 두 개의 동형류가 있다. 이들은 +형−형이라고 불리며, 각각 다음과 같다.[3]:58

f^+=\begin{cases}\operatorname{diag}(1,1,\dots,1,1)&q\equiv1\pmod4\\
\operatorname{diag}(1,1,\dots,1,\alpha),\;\nexists\beta\in\mathbb F_q\colon \alpha=\beta^2&q\equiv3\pmod4
\end{cases}
f^-=\begin{cases}
\operatorname{diag}(1,1,\dots,1,1)&q\equiv3\pmod4\\
\operatorname{diag}(1,1,\dots,1,\alpha),\;\nexists\beta\in\mathbb F_q\colon \alpha=\beta^2&q\equiv1\pmod4
\end{cases}

만약 q소수인 경우, 이차 상호 법칙에 따라서 q\equiv1\pmod4라는 조건은 −1이 제곱수라는 조건, 즉 −1이 제곱잉여라는 조건과 같다.

홀수 차원에서, 제곱수가 아닌 \alpha\in\mathbb F_q에 대하여 f^+\alpha f^-는 서로 동형이며, 따라서 이 경우 직교군 \operatorname O(2k+1;\mathbb F_q)은 유일하다. 반면 짝수 차원에서는 이것이 성립하지 않으며, f^\pm에 대응하는 직교군들은 각각 \operatorname O^\pm(2k;\mathbb F_q)라고 쓴다.[3]:69–75

표수가 2가 아닌 유한체 \mathbb F_q (q=p^k, p 소수)의 직교군의 크기는 다음과 같다.[3]:72, (3.30)–(3.32)

|\operatorname O(2n+1;\mathbb F_q)|=2q^n\prod_{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})
|\operatorname O^+(2n;\mathbb F_q)|=2(q^n-1)\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})
|\operatorname O^-(2n;\mathbb F_q)|=2(q^n+(-1)^{n+1})\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})

표수 2에서의 직교군[편집]

표수가 2인 체 위의 직교군은 다음과 같은 특수한 성질을 보인다.

응용[편집]

직교군은 물리학에서 널리 응용된다. SO(3) 및 그 피복군 Spin(3)는 3차원 공간의 회전을 나타내며, 그 표현론은 양자역학에 핵심적이다.

특수 상대성 이론에서는 민코프스키 공간의 (중심을 고정시키는) 대칭군인 부정부호 직교군 O(3,1)이 핵심적인 역할을 하며, 이 군을 로런츠 군이라고 한다. 로런츠 군의 표현론은 상대론적 양자장론에서 핵심적이다. 더 시터르 공간반 더 시터르 공간의 대칭군 역시 부정부호 직교군 O(4,1) 및 O(3,2)이다.

등각 장론에서, (p,q)-차원 시공간의 등각 대칭군은 \operatorname{SO}(p+1,q+1)이다. 이 대칭군이 반 더 시터르 공간의 대칭군과 같다는 사실은 AdS/CFT 대응성에서 핵심적인 역할을 한다.

이 밖에도, SO(10)은 대통일 이론의 게이지 군으로 쓰인다.

참고 문헌[편집]

  1. Karoubi, Max. 〈Bott periodicity in topological, algebraic and Hermitian K-theory〉. 《Handbook of K-theory. Volume 1》 (영어). 111–137쪽. doi:10.1007/978-3-540-27855-9_4. 
  2. Kuiper, Nicolaas H. (1965). “The homotopy type of the unitary group of Hilbert space” (영어). 《Topology》 3 (1): 19–30. doi:10.1016/0040-9383(65)90067-4. 
  3. Wilson, Robert A. (2009). 《The finite simple groups》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 251. London: Springer. ISBN 978-1-84800-987-5. Zbl 1203.20012. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]