직교군

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군론에서, 직교군(直交群, orthogonal group)은 주어진 에 대한 직교행렬리 군이다.

정의[편집]

F라고 하자. 직교군 \operatorname{O}(n,F)는 다음과 같은 일반선형군 \operatorname{GL}(n,F)의 부분군이다.

\operatorname{O}(n,F)=\{M\in\operatorname{GL}(n,F)\colon MM^{\operatorname T}=1\}.

특수직교군[편집]

직교군에서 순환군 \mathbb Z/2\mathbb Z로 가는 다음과 같은 군 준동형사상 D가 존재한다.

D\colon M\mapsto\operatorname{rank}(1-M)\pmod 2.

이 준동형사상을 딕슨 불변량(Dickson invariant)이라고 한다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면 이는 행렬식 \det\colon\operatorname{O}(n,F)\to\{\pm1\}과 같다. (표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이다.)

특수직교군(特殊直交群, special orthogonal group) \operatorname{SO}(n,F)는 딕슨 불변량의 이다.

\operatorname{SO}(n,F)=\ker D=\operatorname{O}(n,F)/(\mathbb Z/2\mathbb Z).

즉, 딕슨 불변량이 0인 직교행렬의 리 군이다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면, 이는 행렬식이 1인 직교행렬의 리 군이 된다. 따라서 특수직교군과 직교군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족한다.

1\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to\operatorname{O}(n,F)\to\operatorname{SO}(n,F)\to1.

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같이 보기[편집]