호프 올뭉치

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호프 올뭉치의 형상화. 왼쪽 위에는 3차원 구(를 3차원 공간에 사영한 모습), 오른쪽 아래에는 2차원 구이다. 다발 구조를 보이기 위하여 2차원 구의 일부분과 이에 대응하는 올들을 색깔로 표시하였다.

위상수학에서, 호프 올뭉치(영어: Hopf fibration)는 가 다른 차원의 구 위의 올다발을 이루는 현상이다. 가장 대표적인 경우는 3차원 구가 2차원 구 위에 다발을 이루는 경우며, 유사하게 7차원 구가 4차원 구 위에, 15차원 구가 8차원 구 위에 올다발을 이룬다.

정의[편집]

가 노름을 가진 나눗셈 대수(즉, 실수, 복소수, 사원수, 또는 팔원수 대수 가운데 하나)라고 하고, 이라고 하자. 즉, 이다. 다음과 같이 구

를 생각하자. 이 구에 다음과 같은 동치관계를 주자.

(, )

이렇게 하면

을 얻는다. 즉, 위에 올다발을 이루며, 그 올은 인 것을 알 수 있다. 이를 호프 올뭉치라고 한다. 이에 따라, 다음과 같은 호프 올뭉치들을 얻는다.

(실수)
(복소수)
(사원수)
(팔원수)

역사[편집]

하인츠 호프가 1931년 발견하였다.[1][2]

응용[편집]

물리학, 특히 양자역학에 등장한다.[3] 자기 홀극전자기 퍼텐셜은 호프 올뭉치를 이룬다.[4]

참고 문헌[편집]

  1. Hopf, Heinz (1931). “Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 104 (1): 637–665. doi:10.1007/BF01457962. JFM 57.0725.01. Zbl 0001.40703. 
  2. Hopf, Heinz (1935). “Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension”. 《Fundamenta Mathematicae》 (독일어) 25: 427–440. Zbl 0012.31902. 
  3. Mosseri, R.; R. Dandoloff (2001). “Geometry of entangled states, Bloch spheres and Hopf fibrations”. 《Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical》 (영어) 34 (47): 10243–10252. arXiv:quant-ph/0108137. Bibcode:2001JPhA...3410243M. doi:10.1088/0305-4470/34/47/324. 
  4. Urbantke, H.K. (2003). “The Hopf fibration — seven times in physics” (PDF). 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) 46 (2): 125–150. Bibcode:2003JGP....46..125U. doi:10.1016/S0393-0440(02)00121-3.