3차원 직교군

3차원 직교군(三次元直交群, 영어: three-dimensional orthogonal group)은 3차원 유클리드 공간의 회전 및 반사로 구성되는 리 군이다.

정의

3차원 직교군 $\operatorname {O} (3;\mathbb {R} )$는 3×3 실수 직교 행렬들로 구성된 리 군이다.

다음과 같은 리 군들이 서로 동형이다.

• 3차원 특수직교군 $\operatorname {SO} (3;\mathbb {R} )$. 3×3 실수 직교 행렬의 행렬식은 ±1이며, 이 가운데 행렬식이 +1인 것들은 $\operatorname {O} (3;\mathbb {R} )$의 부분군을 이룬다. 이 부분군을 $\operatorname {SO} (3;\mathbb {R} )$라고 한다.
• 2차원 사영 특수 유니터리 군 $\operatorname {PSU} (2)$.
• 3차원 사영 특수직교군 $\operatorname {PSO} (3;\mathbb {R} )$. 차원이 홀수이므로 사영 직교군은 특수직교군과 같다.

다음과 같은 리 군들이 서로 동형이다.

• 2차원 특수 유니터리 군 $\operatorname {SU} (2)$는 2×2 복소수 유니터리 행렬 가운데, 행렬식이 1인 것들로 구성된 리 군이다.
• 3차원 스핀 군 $\operatorname {Spin} (3)$
• 1차원 심플렉틱 군 $\operatorname {Sp} (1)=\operatorname {USp} (2)\cong \{x\in \mathbb {H} \colon \|x\|=1\}$. 이는 노름이 1인 사원수들의 곱셈군이다.

복소수 표현

다음과 같은 두 겹 피복이 존재한다.

$\operatorname {SU} (2)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (3)$

즉, $\operatorname {SU} (2)$는 3차원 스핀 군 $\operatorname {Spin} (3)$과 동형이다. 이 피복 사상은 다음과 같다.

${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\bar {\alpha }}^{2}-{\bar {\beta }}^{2})&{\frac {i}{2}}(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\bar {\alpha }}^{2}+{\bar {\beta }}^{2})&-\alpha \beta -{\bar {\alpha }}{\bar {\beta }}\\{\frac {i}{2}}(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\bar {\alpha }}^{2}+{\bar {\beta }}^{2})&{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\bar {\alpha }}^{2}+{\bar {\beta }}^{2})&-i(+\alpha \beta -{\bar {\alpha }}{\bar {\beta }})\\\alpha {\bar {\beta }}+{\bar {\alpha }}\beta &i(-\alpha {\bar {\beta }}+{\bar {\alpha }}\beta )&\alpha {\bar {\alpha }}-\beta {\bar {\beta }}\end{pmatrix}}$

이는 다음과 같이 해석할 수 있다. 우선, $\operatorname {SO} (3)$는 2차원 구 $\mathbb {S} ^{2}$ 위에 등거리 사상으로 구성된 표준적인 충실한 표현을 가진다. 또한, $\mathbb {S} ^{2}$는 리만 구 ${\hat {\mathbb {C} }}$로 해석할 수 있으며, 이 경우 구의 등거리 자기 동형은 리만 구 위의 뫼비우스 변환으로 나타내어진다. 즉, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.

$\iota \colon \operatorname {SO} (3)\hookrightarrow \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )$

이 경우, $\iota$의 상은 다음과 같은 꼴의 뫼비우스 변환들이다.

$z\mapsto {\frac {\alpha z+\beta }{-{\bar {\beta }}z+{\bar {\alpha }}}}$

마찬가지로, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.

$\iota '\colon \operatorname {PSU} (2)\hookrightarrow \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )$

$\iota '\colon \pm {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}\mapsto \left(z\mapsto {\frac {\alpha z+\beta }{-{\bar {\beta }}z+{\bar {\alpha }}}}\right)$

따라서, 이는 동형 $\operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {SO} (3)$를 정의한다.

사원수 표현

동형 $\operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Sp} (1)$은 다음과 같이 이해할 수 있다. $\operatorname {Sp} (1)$은 정의에 따라 노름이 1인 사원수들로 구성된다. 주어진 사원수에 대응하는 2×2 특수 유니터리 행렬은 다음과 같다.

$\operatorname {Sp} (1)\mapsto \operatorname {SU} (2)$

$a+ib+jc+kd\mapsto {\begin{pmatrix}a+ib&-c+id\\c+id&a-ib\end{pmatrix}}$

마찬가지로, 두 겹 피복군 $\operatorname {Sp} (1)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (3)$는 다음과 같이 이해할 수 있다.

$\operatorname {Sp} (1)\mapsto \operatorname {SO} (3)$

$a+ib+jc+kd\mapsto {\begin{pmatrix}1-2c^{2}-2d^{2}&2bc-2da&2bd+2ca\\2bc+2da&1-2b^{2}-2d^{2}&2cd-2ba\\2bd-2ca&2cd+2ba&1-2b^{2}-2c^{2}\end{pmatrix}}$

이는 $(b,c,d)$를 축으로 하여, 각도 $2\theta$만큼 회전하는 행렬이며, 여기서 각도 $\theta$는 다음과 같다.

$\cos(\theta )=a$

$|\sin(\theta )|=\|a+ib+jc+kd\|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}$

즉, 단위 사원수 집합을 4차원 극좌표계 $(r,\theta ,\phi ,\chi )$로 나타내었을 때, $\theta$는 극각에 해당한다.. 이 경우, 사원수 $a+ib+jc+kd$와 $-a-ib-jc-kd$가 같은 직교 행렬에 대응하므로, 이는 2겹 피복임을 알 수 있다.

이는 사원수 곱셈으로서 다음과 같이 나타낼 수 있다. 4차원 벡터 $(t,x,y,z)$를 사원수 $v=t+ix+iy+iz$로 나타내자. 그렇다면, 4차원 회전 $\operatorname {SO} (4)\cong (\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2))/(\mathbb {Z} /2)$의 작용은 다음과 같이 생각할 수 있다. 각 $\operatorname {SU} (2)$의 원소를 단위 사원수 $q_{1}$, $q_{2}$로 나타낸다면, 4차원 회전은 다음과 같다.

$v\mapsto q_{1}vq_{2}$

여기서 $\mathbb {Z} /2$에 대한 몫군을 취하는 것은 $(q_{1},q_{2})$와 $(-q_{1},-q_{2})$가 같은 작용을 갖기 때문이다.

3차원 공간의 회전은 이 작용에서, $t$축의 안정자군이다. $t$축이 고정될 조건은 $q_{1}q_{2}=1$인 것이며, 따라서 $q_{1}=q_{2}^{-1}={\bar {q}}_{2}$이다. 즉, $\operatorname {SO} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)/(\mathbb {Z} /2)$의 작용은 다음과 같다.

$v\mapsto qv{\bar {q}}\qquad (q\in \mathbb {H} ,\;\|q\|=1)$

여기서 $\mathbb {Z} /2$에 대한 몫군을 취하는 것은 $\pm q$가 같은 작용을 갖기 때문이다.

리 대수

$\operatorname {SU} (2)$의 리 대수 ${\mathfrak {su}}(2)$의 기저는 파울리 행렬 ${\tfrac {1}{2}}\sigma ^{i}$로 주어진다.

$[{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{i},{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{j}]=\epsilon _{ijk}{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{k}$

$\operatorname {SO} (3)$의 리 대수 ${\mathfrak {so}}(3)$의 기저는 무한소 3차원 회전 $L_{i}$로 다음과 같이 주어진다.

$L_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}$

$L_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}$

$L_{3}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

$L_{i}$는 $i$번째 축에 대한 무한소 회전이며, 다음과 같은 구조 상수를 갖는다.

$[L_{i},L_{j}]=\epsilon _{ijk}L^{k}$

이 경우, 리 대수의 동형 $\operatorname {su} (2)\cong \operatorname {so} (3)$는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

${\tfrac {1}{2}}\sigma ^{1}\mapsto L_{i}$

성질

대수학적 성질

$\operatorname {SU} (2)$의 중심은 $\{\pm 1_{2\times 2}\}$이며, 이에 대하여 몫군을 취하면 $\operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {SO} (3)$를 얻는다.

SO(3) 또는 SU(2)의 유한 부분군은 ADE 분류를 갖는다.

위상수학적 성질

$\operatorname {SU} (2)$와 $\operatorname {SO} (3)$는 둘 다 콤팩트 연결 3차원 매끄러운 다양체이다.

$\operatorname {SU} (2)$는 위상수학적으로 3차원 초구 $\mathbb {S} ^{3}$이다. (초구에 리 군의 구조를 줄 수 있는 경우는 0·1·3차원밖에 없다.) 이는 콤팩트 단일 연결 공간이다.

$\operatorname {SO} (3)\cong \operatorname {PSU} (2)$는 위상수학적으로 3차원 실수 사영 공간 $\mathbb {RP} ^{3}\cong \mathbb {S} ^{3}/(\mathbb {Z} /2)$이다. 여기서 $\mathbb {Z} /2$에 대한 몫공간을 취하는 것은 대척점을 이어붙이는 것과 같다.

$\operatorname {O} (3)$는 두 개의 연결 성분을 가진다. 이는 행렬식이 ±인 직교 행렬들로 구성된다.

표현론

$\operatorname {SU} (2)$의 유한 차원 표현은 차원에 따라 완전히 분류된다. 즉, 주어진 차원 $n=0,1,2,\dots$에 대하여, (동형 아래) 유일한 $n$차원 복소수 표현이 존재하며, 이는 유니터리 표현이다. 만약 $n$이 짝수인 경우, 이는 $n$차원 실수 표현으로 나타낼 수 있다. 양자역학에서, $n$차원 표현은 스핀 $(n-1)/2$ 표현으로 일컬어진다.

$\operatorname {SO} (3)$의 유한 차원 표현들은 $\operatorname {SU} (2)$의 $n$차원 표현들 가운데, $n$이 홀수인 것들이다. 예를 들어, $n=3$인 경우는 $\operatorname {SO} (3)$를 정의하는, 3차원 유클리드 공간 위의 특수 직교 행렬로서의 표현이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Rotation matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Improper rotation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Trimble, Todd. “Notes on SU(2) reps” (영어). 
• 이철희. “3차원 공간의 회전과 SO(3)”. 《수학노트》. 
• 이철희. “Spin(3)”. 《수학노트》. 
• 이철희. “3차원 유한회전군의 분류”. 《수학노트》. 

같이 보기

• 클렙슈-고르단 계수
• 구면 조화 함수
• 오일러 각
• 스핀
• 2차원 실수 특수선형군
• 원군
• 로런츠 군