직교군

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군론에서, 직교군(直交群, 영어: orthogonal group)은 주어진 에 대한 직교 행렬리 군이다.

정의[편집]

위의 유한 차원 벡터 공간 위에 비퇴화 이차 형식

가 주어졌다고 하자. (만약 표수가 2가 아니라면, 이는 위의 대칭 비퇴화 쌍선형 형식과 같다.) 그렇다면, 직교군 위의 가역 선형 변환들 가운데, 를 보존하는 것들로 구성된 이다.

이는 대수적 조건이므로, 직교군은 체 에 대한 대수군이다. 또한, 만약 가 실수체나 복소수체라면, 직교군은 리 군을 이룬다.

만약 차원 벡터 공간이며, 가 자명한 (양의 정부호) 이차 형식이라면, 이를 로 쓴다.

실베스터 관성 법칙에 의하여, 실수체 위의 비퇴화 이차 형식계량 부호수 에 의하여 분류된다. 이 경우 직교군은 와 같이 쓴다.

특수직교군[편집]

직교군에서 2차 순환군으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

.

이 준동형을 딕슨 불변량(Dickson不變量, 영어: Dickson invariant)이라고 한다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면 이는 행렬식 과 같다. (표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이다.)

특수직교군(特殊直交群, 영어: special orthogonal group) 는 딕슨 불변량의 이다.

.

즉, 딕슨 불변량이 0인 직교 행렬리 군이다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면, 이는 행렬식이 1인 직교행렬의 리 군이 된다. 따라서 특수직교군과 직교군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족한다.

.

스핀 군과 핀 군[편집]

특수직교군 에 대하여, 그렇다면 다음 짧은 완전열을 만족시키는 유일한 연결 리 군 이 존재한다.

.

리 군스핀 군(영어: spin group)이라고 한다.

일 경우, 스핀 군은 특수직교군의 범피복 공간이다. (일 경우는 물론 이고, 그 범피복 공간은 이다.)

마찬가지로, 직교군의 두 겹 피복군인 핀 군(영어: pin group)을 정의할 수 있다. 스핀 군과 핀 군은 다음과 같은 가환 그림을 만족시키며, 이 가환 그림에서 모든 행과 열은 짧은 완전열을 이룬다.

직교 리 대수[편집]

실수체 또는 복소수체 위의 직교군은 리 군을 이루며, 이에 대응하는 리 대수를 정의할 수 있다. 이는 또는 와 같이 쓴다 ().

정사각 실수 반대칭 행렬들로 구성된 리 대수이며, 는 정사각 복소수 반대칭 행렬들로 구성된 리 대수이다.

스피너 노름[편집]

위의 벡터 공간 위의 이차 형식 의 직교군 에 대하여, 스피너 노름(영어: spinor norm)은 다음과 같은 군 준동형이다.

여기서 에 대한 반사이며, 다음과 같이 정의된다.

직교군의 모든 원소는 이와 같은 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.

성질[편집]

군론적 성질[편집]

에 대한 직교군의 중심은 다음과 같다.

만약 의 표수가 2가 아니라면, 중심의 크기는 2이며, 만약 의 표수가 2라면 중심의 크기는 1이다. 체의 표수가 2가 아닐 때, 만약 이 짝수라면 중심의 두 원소 모두 특수직교군에 속하지만, 이 홀수라면 그렇지 않다.

중심에 대하여 몫군을 취하면, 사영 직교군(영어: projective orthogonal group)

을 얻는다.

마찬가지로, 스핀 군의 중심은 다음과 같다.

리 이론적 성질[편집]

복소수 리 군 일 경우 단순 리 군이다. 단순 리 군의 분류에서, 이는 만약 이라면 에, 만약 라면 에 해당하며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다.

의 콤팩트 실수 형식이다. 분해 실수 형식은 짝수 차수에서는 이며, 홀수 차수에서는 이다.

극대 원환면은 다음과 같다.

여기서

는 2×2 회전 행렬이다. 극대 원환면은 다음과 같다.

바일 군반직접곱

이다. 여기서

와 같이 작용하며, 순열

와 같이 작용한다. 구체적으로, 바일 군에서 의 원소는 블록 대각 행렬

이며, 의 원소는 2×2 단위 행렬 블록의 순열 행렬번째 성분 +1을 추가한 행렬이다.

의 바일 군은 반직접곱

이다. 포함 관계

아래, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

이며, 는 다음과 같다.

위상수학적 성질[편집]

실수 직교군 차원의 리 군이며, 콤팩트 공간이다. 두 개의 연결 성분을 가지며, 이들은 각각 행렬식 인 실수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 연결 공간인 실수 특수직교군 를 이룬다.

복소수 직교군 은 복소수 차원(실수 차원)의 복소수 리 군이자 대수군이다. 인 경우, 복소수 직교군은 콤팩트하지 않다. 복소수 직교군은 두 개의 연결 성분을 가지며, 이는 각각 행렬식이 인 복소수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 복소수 특수직교군 를 이룬다.

실수 또는 복소수 특수직교군의 기본군은 다음과 같다.

이에 따라, 실수 특수직교군의 범피복 리 군을 취하면 에서는 를, 에서는 스핀 군 을 얻는다.

부정부호 실수 직교군 ()는 네 개의 연결 성분을 가지며,

이다. 여기서 한 차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정되며, 다른 하나는 차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정된다. 는 두 개의 연결 성분을 가지며, 이 경우

이다. 의 연결 부분군을 라고 한다.

부정부호 실수 직교군의 기본군은 다음과 같다.

보트 주기성[편집]

호프 올뭉치

로 인하여, 만약 이라면

이다.[1]:112 즉, 직교군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.[1]:113

이 주기성을 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이라고 한다. 불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.

직교군 π0 π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9
O(1) ℤ/2 0 0 0 0 0 0 0 0
O(2) ℤ/2 0 0 0 0 0 0 0 0
O(3) ℤ/2 ℤ/2 0 ℤ/2 ℤ/2 ℤ/12 ℤ/2 ℤ/2 ℤ/3
O(4) ℤ/2 ℤ/2 0 2 (ℤ/2)2 (ℤ/2)2 (ℤ/12)2 (ℤ/2)2 (ℤ/2)2 (ℤ/3)2
O(5) ℤ/2 ℤ/2 0 ℤ/2 ℤ/2 0 0 0
O(6) ℤ/2 ℤ/2 0 0 0 ℤ/24 ℤ/2

특수직교군 및 스핀 군의 호모토피 군은 다음과 같이 다르다.

다음과 같은 무한 직교군 을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.

무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.

이에 따라, 무한 직교군은 스스로의 8차 고리 공간호모토피 동치이다.[1]:112, Theorem 1

무한 차원 분해 가능 실수 힐베르트 공간 의 직교군 와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때, 축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.[2]

포함 관계[편집]

모든 에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

  • . 만약 이 짝수인 경우, 이는 딘킨 도표 대칭을 따라 접은 것이다. 만약 이 홀수인 경우, 이는 딘킨 도표로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 로 표시한 꼭짓점을 제거한 것이다.
  • 만약

또한, 예외 단순군에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

6차원 이하의 직교군은 다음과 같은 예외적 동형(영어: exceptional isomorphism)을 보인다.

1차원
2차원
3차원
4차원
5차원
6차원

홀수 표수 유한체 위에서의 직교군[편집]

가 표수가 2가 아닌 유한체라고 하자. 이 경우, 주어진 차원의 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식은 정확히 두 개의 동형류가 있다..

홀수 차원에서, 제곱수가 아닌 에 대하여 이 두 이차 형식은 서로 비례한다. 즉, 이 두 동형류는 의 꼴이다 (는 제곱수가 아닌 임의의 원소). 따라서 이 경우 직교군 은 유일하다. 반면 짝수 차원에서는 이것이 성립하지 않으며, 플러스형마이너스형 두 종류로 분류된다. 비트 지표가 인 것을 플러스형, 인 것을 마이너스형이라고 한다. 플러스형과 마이너스형에 대응하는 직교군들은 각각 라고 쓴다.[3]:69–75

표수가 2가 아닌 유한체 (, 소수)의 직교군의 크기는 다음과 같다.[3]:72, (3.30)–(3.32)

표수 2에서의 직교군[편집]

표수가 2인 체 위의 직교군은 다음과 같은 특수한 성질을 보인다.

구체적으로, 표수 2인 체 위의 이차 형식의 연관 대칭 쌍선형 형식교대 쌍선형 형식이므로, 이에 대응하는 심플렉틱 군의 부분군이다.

응용[편집]

직교군은 물리학에서 널리 응용된다. SO(3) 및 그 피복군 Spin(3)는 3차원 공간의 회전을 나타내며, 그 표현론은 양자역학에 핵심적이다.

특수 상대성 이론에서는 민코프스키 공간의 (중심을 고정시키는) 대칭군인 부정부호 직교군 O(3,1)이 핵심적인 역할을 하며, 이 군을 로런츠 군이라고 한다. 로런츠 군의 표현론은 상대론적 양자장론에서 핵심적이다. 더 시터르 공간반 더 시터르 공간의 대칭군 역시 부정부호 직교군 O(4,1) 및 O(3,2)이다.

등각 장론에서, -차원 시공간의 등각 대칭군은 이다. 이 대칭군이 반 더 시터르 공간의 대칭군과 같다는 사실은 AdS/CFT 대응성에서 핵심적인 역할을 한다.

이 밖에도, SO(10)은 대통일 이론의 게이지 군으로 쓰인다.

참고 문헌[편집]

  1. Karoubi, Max. 〈Bott periodicity in topological, algebraic and Hermitian K-theory〉 (PDF). 《Handbook of K-theory. Volume 1》 (영어). 111–137쪽. doi:10.1007/978-3-540-27855-9_4. 
  2. Kuiper, Nicolaas H. (1965). “The homotopy type of the unitary group of Hilbert space”. 《Topology》 (영어) 3 (1): 19–30. doi:10.1016/0040-9383(65)90067-4. 
  3. Wilson, Robert A. (2009). 《The finite simple groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 251. London: Springer. ISBN 978-1-84800-987-5. Zbl 1203.20012. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]