구면 조화 함수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
구면 조화 함수의 모양. 녹색은 함수가 양인 구역, 적색은 함수가 음인 구역을 나타낸다.

수학물리학에서, 구면 조화 함수(球面調和函數, 영어: spherical harmonics)는 구면에서 라플라스 방정식의 해의 정규 직교 기저다. 전자기학양자역학 등에서 구면 대칭인 를 다룰 때 쓰인다. 기호는 이다.

정의[편집]

구면좌표계 에서 라플라스 방정식은 다음과 같다.

,

변수분리법을 써, 함수 f가 다음과 같이 표현된다고 가정하자.

.

그렇다면 라플라스 방정식은 다음과 같다.

이는 다음과 같이 분리된다.

이에 따라 어떤 에 대한 위 두 식을 얻는다.

따라서 각의 부분의 해는 다음과 같이 두 방정식의 해의 곱으로 표현된다.

이들 함수 구면 조화 함수라 부른다. 함수가 연속적이므로, 은 음이 아닌 정수이고, 을 만족하는 정수다. 여기서 르장드르 연관 함수이고, 은 정규화 상수다. 은 임의적이나, 대개 편의상 이 되게 다음과 같이 정의한다.

.

성질[편집]

구면 조화 함수의 그래프. 기하학적인 무늬를 보인다.

라플라스 방정식의 고유해로서 구면 조화 함수의 고윳값이다. 즉,

.

정의에 따라, 음의 값은 양의 값과 다음과 같은 관계를 가진다.

.

(다만, 이 식은 정규화 상수를 다르게 잡을 경우 달라질 수 있다.)

양자역학과의 관계[편집]

구면 조화 함수의 매개변수 을 이렇게 부르는 까닭은 양자역학에서 이 함수를 구형 대칭의 파동 함수로 해석하면 궤도 각운동량 양자수에 해당하기 때문이다. 양자역학에서 궤도 각운동량(orbital angular momentum) 연산자는 다음과 같다.

.

따라서 그 제곱은 다음과 같다.

.

또한, 궤도 각운동량의 성분은 다음과 같다.

.

따라서, 구면 조화 함수 의 고유함수이며, 그 고윳값은 다음과 같다.

.

낮은 차수의 구면 조화 함수[편집]

낮은 차수의 구면 조화 함수는 다음과 같다. 여기서는 입자 데이터 그룹(Particle Data Group) 관례를 따랐다.[1] (음수 의 경우는 위의 식을 통해 양의 으로부터 계산할 수 있다.)

참고 문헌[편집]

같이 보기[편집]