구면좌표계

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구면좌표계 (球面座標係, spherical coordinate system)는 3차원 공간 상의 점들을 나타내는 좌표계의 하나로, 보통 로 나타낸다. 원점에서의 거리 은 0부터 까지, 양의 방향의 z축과 이루는 각도 는 0부터 까지, z축을 축으로 양의 방향의 x축과 이루는 각 는 0부터 까지의 값을 갖는다. 는 위도로, 는 경도로 표현되는 경우도 있다.

이 세 수치를 보고, 다음과 같은 방법으로 공간의 점을 찾을 수 있다.: 원점 에서 만큼 z축을 따라 간다. 그 지점에서 xz 평면 안에 있으면서 z축에서부터 만큼 회전한다. 이 xz 평면 전체를 z축을 축으로 만큼 반 시계방향(+x축에서 +y축 방향으로)으로 돌린다.

구면좌표계라는 이름은 이 좌표계에서 ''이 단위구(單位球)를 표현하기 때문에 붙여졌다.

구면좌표계와 원통좌표계는 평면 극좌표계를 공간으로 확장한 것이며, 구면좌표계는 구대칭이 나타나는 문제에서 유용하게 쓰인다. 예를 들어, 수소원자와 같이 구대칭이 있는 경우에 슈뢰딩거 방정식을 풀 때 구면좌표계를 사용한다.

아래 변환식을 통해 직교좌표계와 변환할 수 있지만, 변환식에서 사용하는 역삼각함수는 일의적이지 않기 때문에, 공간상의 각 점마다 하나의 좌표만 대응하는 직교좌표계와는 달리, 구면좌표계는 한 점을 나타내는 표현이 여러가지일 수 있다. 예를 들어, (1, 0°, 0°), (1, 0°, 45°), 과 (-1, 180°, 270°) 는 모두 같은 점을 나타낸다.

표시 문자[편집]

세 좌표의 표시를 위한 여러가지 다른 약속이 존재한다. 국제 표준 기구의 지침(ISO 31-11)에 따라 물리학에서는 (r, θ, φ)의 문자를 사용하여 원점에서의 거리, 천정과 이루는 각도(천정거리), 방위각 등을 표시하고, (미국의) 수학에서는 고도와 방위각이 바뀌어 'φ'와 'θ'로 표시된다. [1]

정의[편집]

Spherical coordinate.gif

좌표 는 다음과 같이 정의 된다. 주어진 점을 P라 하자.

구면좌표계의 경우는 좌표값에 따라 한 점을 여러 좌표가 가리키는 경우가 있으므로, 각 변수의 범위를 보통 아래와 같이 제한한다.

좌표 변환[편집]

다른 3차원 좌표계로 변환하는 공식은 다음과 같다.

직교좌표계[편집]

  • 직교좌표계에서 구면좌표계로 변환시:
  • 구면좌표계에서 직교좌표계로 변환시:

지리좌표계[편집]

, or
,

원통좌표계[편집]

  • 원통좌표계에서 구면좌표계로 변환시:
  • 구면좌표계에서 원통좌표계로 변환시:

단위벡터[편집]

각 단위벡터의 직교좌표에서의 표현은 다음과 같다.

단위벡터의 미분[편집]

유용한 공식들[편집]

면적 요소

부피 요소

기울기

발산

회전

라플라시안

각주[편집]

  1. 이러한 표시는 φ가 2차원 극좌표, 3차원 원통좌표의 방위각과 호환된다는 장점이 있다.

같이 보기[편집]