슈뢰딩거 방정식

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슈뢰딩거 방정식 ( - 方程式, 영어 : Schrödinger equation)은 비상대론양자역학적 계의 시간에 따른 진화를 나타내는 선형 편미분방정식이다. 오스트리아물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 도입하였고, 그가 발명한 파동역학의 기본 방정식이다. 식은 다음과 같다.

i\hbar\frac{\partial{}|\psi\rangle}{\partial{}t}=\hat{H}|\psi\rangle

해밀토니안 연산자 \hat{H}는 고전적 해밀토니안에 해당하는 연산자로, 후자를 양자화하여 얻는다. |\psi\rangle폴 디랙브라-켓 표기를 사용해 나타낸, 슈뢰딩거 묘사에서의 힐베르트 공간상태 벡터이다. 이를 파동 함수 \psi로 나타낼 수 있다. (파동 함수에 대한 해석은 코펜하겐 해석을 참조하라.)

역사적 배경과 발견[편집]

1905년, 알베르트 아인슈타인광전효과를 설명하기 위해서 광자에너지 E와 진동수 ν 및 플랑크 상수 h 사이의 관계를

E = h \nu\;

로 나타내었다. 1924년 루이 드브로이는 광자 뿐만 아니라 모든 입자가 대응되는 파동함수 \psi\;를 가진다는 드브로이 가설을 발표하고, 파동의 파장 λ와 입자의 운동량 p에 대해

p=h / \lambda\;

의 관계식을 제안했으며, 이 관계식이 특수상대론 및 위의 아인슈타인이 제안한 식과 일관됨을 보였다. 즉, E = hν는 광자 뿐만 아니라 모든 입자에 대해 성립한다는 것이다.

위 식들을 각진동수 \omega = 2\pi \nu\;파수 k = 2\pi / \lambda\;\hbar = h / 2 \pi\;를 이용해 표현하면,

E=\hbar \omega

pk벡터로 표현하면

\mathbf{p} =\hbar \mathbf{k}\;

1925년, 슈뢰딩거는 평면파위상복소 위상인자로 나타내었다:

\psi(\mathbf{x},t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}- \omega t)}

그리고 그는

 \frac{\partial}{\partial t} \psi = -i\omega \psi

이므로

 E \psi = \hbar \omega \psi =  i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi

이며, 마찬가지로

 \frac{\partial}{\partial x} \psi = i k_x \psi

이므로

 p_x \psi = \hbar k_x \psi = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \psi

이고, 따라서

 p_x^2 \psi = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi

및 각 방향의 부분들을 더하면

 p^2 \psi = (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) \psi = -\hbar^2(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}) \psi = -\hbar^2\nabla^2 \psi

이 성립함을 알았다. 이제 이를 총 에너지 E와 질량 m 및 위치에너지에 대한 고전역학적 공식

E=\frac{p^2}{2m}+V (단순히 총 에너지를 운동에너지와 위치에너지의 합으로 나타낸 것이다)

에 대입하여, 당시에 슈뢰딩거가 얻었던 위치에너지가 주어진 3차원 공간 상의 단일입자에 대한 공식에 도달한다:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi.

상대론적 일반화[편집]

슈뢰딩거 방정식은 비상대론적이므로, 특수상대론과 불합한다. 슈뢰딩거 방정식을 상대론적으로 일반화하면 스핀에 따라 클라인 고든 방정식이나 디랙 방정식 따위를 얻는다. 이들은 비상대론적인 극한에서 슈뢰딩거 방정식으로 수렴한다.

참고문헌[편집]

  • E. Schrödinger, Physcal Review 28 1049 (1926)
  • 월터 무어 저, 전대호 옮김, 슈뢰딩거의 삶, 사이언스북스

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