편미분방정식

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편미분 방정식(偏微分方程式, 영어: partial differential equation, 약자 PDE)은 수학에서 여러 개의 독립 변수로 구성된 함수와 그 함수의 편미분으로 연관된 방정식이다. 각각의 변수들의 상관관계를 고려하지 않고 변화량을 보고 싶을 때 이용할 수 있으며, 상미분방정식에 비해 응용범위가 훨씬 크다. 소리의 전파 과정, 전자기학, 유체역학, 양자역학 등 수많은 역학계에 관련된 예가 많다.

정의[편집]

매끄러운 다양체라고 하자. 편미분 방정식은 다음과 같은 꼴의 미분 방정식이다.

여기서 미분 연산자의 최고 차수 를 편미분 방정식의 차수(영어: order)라고 하며, 이러한 꼴의 편미분 방정식을 차 편미분 방정식이라고 한다. 만약 다양체 이 2차원 이상이라면 이를 연립 편미분 방정식이라고 하며, 만약 이 1차원이라면 비연립 편미분 방정식이라고 한다.

분류[편집]

1차 편미분 방정식[편집]

1차 편미분 방정식은 대체로 특성곡선법을 사용하여 풀 수 있다. 매끄러운 다양체 위의 일반적인 (비연립) 1차 편미분 방정식은 다음과 같은 꼴이다.

여기서 이다. 이 경우, 임의의 해 는 다음과 같은 상미분 방정식을 만족시킨다.

따라서, 이 상미분 방정식을 풀어서 편미분 방정식의 해들을 찾을 수 있다.

2차 편미분 방정식[편집]

매끄러운 다양체 위의 일반적인 (비연립) 2차 편미분 방정식은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.

따라서, 의 각 점에 실수 이차 형식을 정의한다. 이는 실베스터 관성법칙에 따라 이차 형식의 고윳값들의 부호에 따라서 분류할 수 있다. 구체적으로, 어떤 주어진 점 에서

  • 만약 의 모든 고윳값들이 양수라면, 이 2차 편미분 방정식이 타원형 편미분 방정식(영어: elliptic partial differential equation)이라고 한다.
  • 만약 의 모든 고윳값들이 음이 아닌 실수이며, 0인 고윳값이 존재한다면, 이 2차 편미분 방정식이 포물형 편미분 방정식(영어: parabolic partial differential equation)이라고 한다.
    • 열 방정식 이 대표적인 예이다.
  • 만약 가 음의 고윳값을 갖는다면, 이 2차 편미분 방정식이 쌍곡형 편미분 방정식(영어: hyperbolic partial differential equation)이라고 한다.
    • 파동 방정식 이 대표적인 예이다.

타원형·포물형·쌍곡형 방정식들은 각각 현저히 다른 현상을 보인다.

선형 편미분 방정식[편집]

매끄러운 다양체 에서 벡터 공간 로 가는 함수 에 대한 선형 편미분 방정식은 다음과 같은 꼴이다.

이는 위의, 값을 갖는 매끄러운 함수들의 벡터 공간 위에 정의된 선형작용소고윳값 방정식이다. 즉, 이 경우 해 는 선형작용소

에 대하여 고윳값이 0인 고유벡터를 이룬다. 이 경우, 함수해석학작용소 이론을 적용할 수 있다.

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참고 문헌[편집]

  • Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》 8판. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-15496-2. 
  • Andrei D. Polyanin, William E. Schiesser, Alexei I. Zhurov. “Partial differential equation”. 《Scholarpedia》 3 (10): 4605. doi:10.4249/scholarpedia.4605. 

바깥 고리[편집]